Lojasevics egyenlőtlensége

A Lojasiewicz - egyenlőtlenség egy Stanisław Lojasiewicz lengyel matematikus ( lengyelül: Stanisław Łojasiewicz ) által felállított egyenlőtlenség, amely egy tetszőleges kompakt halmaz pontjától egy sok változóból álló valós analitikus függvény nullaszintű halmaza közötti távolság felső korlátját adja meg. . Ezt az egyenlőtlenséget a matematika különböző ágaiban alkalmazták, beleértve a valós algebrai geometriát, az elemzést és a differenciálegyenletek elméletét [1] [2] .

Megfogalmazás

Legyen a függvény valódi analitikus egy nem üres nyitott halmazon , és legyen a függvény nullák halmaza . Ha a halmaz nem üres, akkor minden nem üres kompakt halmazhoz léteznek állandók és olyanok, hogy az egyenlőtlenség $f:U\to \mathbb{R}$ $U\subset \mathbb{R} ^{n}$ $Z=\{x\in U:f(x)=0\}$ $f$ $Z$ $K\alhalmaz U$ $\alpha \geq 2$ $C>0$

\inf _{{z\in Z}}|xz|^{\alpha }\leq C|f(x)|\ \ \forall \,x\in K,

amelyek száma meglehetősen nagy lehet. $\alpha$

Ezen túlmenően bármely ponthoz van egy kellően kicsi szomszédsága és olyan állandók és , hogy a második Lojasevics-egyenlőtlenség teljesül ː $p\in U$ $W\részhalmaz U$ $0<\béta<1$ $C>0$

|f(x)-f(p)|^{\beta }\leq C|\nabla f(x)|\ \ \forall \,x\in W.

A második egyenlőtlenségből nyilvánvalóan következik, hogy egy valós analitikus függvény minden kritikus pontjához létezik olyan szomszédság, amelyben a függvény minden kritikus pontján ugyanazt az értéket veszi fel.

Irodalom

Tobias Holck Colding, William P. Minicozzi II , Lojasiewicz egyenlőtlenségek és alkalmazások, arXiv:1402.5087 Archivált 2022. január 21-én a Wayback Machine -nél
Malgrange B. A differenciálható függvények ideáljai. — M.: Mir, 1968.
Bierstone, Edward & Milman, Pierre D. (1988), Semianalytic and subanalytic sets , Publications Mathématiques de l'IHÉS (no. 67): 5–42, MR : 972342 , ISSN 1618-1913 , < http://www. numdam.org/item?id=PMIHES_1988__67__5_0 > Archiválva : 2014. augusztus 8. a Wayback Machine -nél
Ji, Shanyu; Kollár, János & Shiffman, Bernard (1992), A global Łojasiewicz inequality for algebraic varieties , Transactions of the American Mathematical Society vol . 329 (2 ) : 813–818 , MR : 1046016 , < http://www.ams.org . /journals/tran/1992-329-02/S0002-9947-1992-1046016-6/ > Archiválva : 2015. november 1. a Wayback Machine -nél

Lojasevics egyenlőtlensége

Megfogalmazás

Irodalom

Jegyzetek