Plummer modell

A Plummer-modell , egyben a Plummer-gömb ( eng. Plummer-modell , eng. Plummer-gömb ) a sűrűségeloszlás törvénye, amelyet először G. Plummer alkalmazott a gömbhalmazok tanulmányozása során [1] . Gyakran használják egyszerűsített modellként az N-test probléma modellezésének keretein belül .

Modell leírás

A háromdimenziós sűrűségprofil a Plummer modellben a következővel rendelkezik

\rho _{P}(r)={\frac {3M_{0}}{4\pi a^{3}}}\left(1+{\frac {r^{2}}{a ^{2}}}\jobbra)^{-{\frac {5}{2}}},

ahol a szimulált objektum teljes tömege, a az úgynevezett Plummer-sugár , egy skálaparaméter, amely beállítja a rendszermag jellemző méretét. A megfelelő potenciálnak megvan a formája $M_{0}$

\Phi _{P}(r)=-{\frac {GM_{0}}{\sqrt {r^{2}+a^{2}}}},

ahol G a gravitációs állandót jelöli . A sebesség diszperzió az

\sigma _{P}^{2}(r)={\frac {GM_{0}}{6{\sqrt {r^{2}+a^{2))))}.

Az elosztási függvénynek van formája

f({\vec {x)),{\vec {v)))={\frac {24{\sqrt {2))}{7\pi ^{3))}{\frac {Na ^{2}}{G^{5}M_{0}^{5}}}(-E({\vec {x}},{\vec {v}}))^{7/2},

ha , és egyébként. Megmutatja az egységnyi tömegre eső energiát. $E<0$ $f({\vec {x)),{\vec {v)))=0$ $E({\vec {x)),{\vec {v)))={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi _{P}(r)$

Tulajdonságok

Tömeg egy sugarú gömbön belül : $r$

M(<r)=4\pi \int _{0}^{r}r'^{2}\rho _{P}(r')\,dr'=M_{0}{\frac {r^{3}}{(r^{2}+a^{2})^{3/2}}}.

A Plummer-modell számos tulajdonságát Herwig Deyonge [2] cikke ismerteti .

A magsugár , amelynél a sűrűség a középponti érték felére csökken, a . $r_{c}$ $r_{c}=a{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}\kb. 0,64a$

Az a sugár, amely a tömeg felét tartalmazza $r_{h}=\left({\frac {1}{0.5^{2/3}}}-1\right)^{-0.5}a\kb. 1.3a.$

A vírus sugara . $r_{V}={\frac {16}{3\pi }}a\kb. 1,7a$

A kétdimenziós felületi sűrűség az

$\Sigma (R)=\int _{-\infty }^{\infty }\rho (r(z))dz=2\int _{0}^{\infty }{\frac {3a^ {2}M_{0}dz}{4\pi (a^{2}+z^{2}+R^{2})^{5/2))}={\frac {M_{0}a ^{2}}{\pi (a^{2}+R^{2})^{2}}}$ ,

így a kétdimenziós tömegeloszlási profil:

$M(R)=2\pi \int _{0}^{R}\Sigma (R')\,R'dR'=M_{0}{\frac {R^{2}}{a ^{2}+R^{2}}}$ .

A csillagászatban szükség lehet arra is, hogy meghatározzuk azt a sugarat, amelyen belül a tömeg fele egy kétdimenziós eloszlásban található . $M(R_{1/2})=M_{0}/2$

A Plummer modellhez . $R_{1/2}=a$

A részecskepálya sugár menti fordulópontjait fajlagos energia és fajlagos szögimpulzus jellemzi , a távolságok megfelelő értékeit a köbegyenlet gyökeként találjuk. $E={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi (r)$ $L=|{\vec {r}}\times {\vec {v}}|$

R^{3}+{\frac {GM_{0}}{E}}R^{2}-\left({\frac {L^{2}}{2E}}+a^{2 }\right)R-{\frac {GM_{0}a^{2}}{E}}=0,

ahol tehát . Ennek az egyenletnek három valós gyöke van : két pozitív és egy negatív, ahol a fajlagos impulzusmomentum egy azonos energiájú körpályára. kiszámítható egy köbegyenlet diszkriminánsának egyetlen valós gyökéből, amely maga is egy köbegyenlet ${\displaystyle R={\sqrt {r^{2}+a^{2))))$ ${\displaystyle r={\sqrt {R^{2}-a^{2))))$ $R$ $L<L_{c}(E)$ $L_{c}(E)$ $L_c$

{\underline {E}}\,{\underline {L}}_{c}^{3}+\left(6{\underline {E}}^{2}{\underline {a}} ^{2}+{\frac {1}{2}}\jobbra){\aláhúzás {L}}_{c}^{2}+\bal(12{\aláhúzás {E}}^{3}{ \aláhúzás {a}}^{4}+20{\aláhúzás {E}}{\aláhúzás {a}}^{2}\jobbra){\aláhúzás {L}}_{c}+\left(8{ \aláhúzás {E}}^{4}{\aláhúzás {a}}^{6}-16{\aláhúzás {E}}^{2}{\aláhúzás {a}}^{4}+8{\aláhúzás {a}}^{2}\right)=0,

ahol az aláhúzott paraméterek dimenzió nélküliek Henon egységekben, definíció szerint , és . ${\underline {E}}=Er_{V}/(GM_{0})$ ${\displaystyle {\underline {L}}_{c}=L_{c}/{\sqrt {GMr_{V))))$ ${\underline {a}}=a/r_{V}=3\pi /16$

Alkalmazások

A Plummer modell lehetővé teszi a csillaghalmazok megfigyelt sűrűségprofiljainak ábrázolását, bár a sűrűség gyors csökkenése nagy távolságokon ( ) nem alkalmas erre a célra. $\rho \rightarrow r^{-5}$

A sűrűség viselkedése a rendszer középpontja közelében nem felel meg az elliptikus galaxisok megfigyelt jellemzőinek, amelyekben a sűrűség a középpont felé erősebben növekszik.

A Plummer-modell Monte Carlo-módszerre történő alkalmazásának egyszerűsége miatt a Plummer-modell nagyon népszerűvé vált az N-test modellezésben, annak ellenére, hogy a modell nem realisztikus [3] .

Jegyzetek

↑ Plummer, H.C. (1911), A globuláris csillaghalmazokban való eloszlás problémájáról Archiválva : 2019. június 26., a Wayback Machine , mon. Nem. R. Astron. szoc. 71 , 460.
↑ Dejonghe, H. (1987), Anizotróp Plummer modellek teljesen analitikus családja Archivált 2019. június 26-án a Wayback Machine -nál . Hétfő Nem. R. Astron. szoc. 224 , 13.
↑ Aarseth, SJ, Henon, M. és Wielen, R. (1974), A numerikus módszerek összehasonlítása a csillaghalmazok dinamikájának tanulmányozására. Archiválva : 2020. április 19., a Wayback Machine Astronomy and Astrophysics 37 183 .