Sok Vitali
A Vitali halmaz az első példa a valós számok halmazára, amely nem rendelkezik Lebesgue-mértékkel . Ezt a klasszikussá vált példát Giuseppe Vitali olasz matematikus írta le 1905-ben. [egy]
Történelem
Egy évvel Vitali cikke előtt, 1904-ben Henri Lebesgue kiadta a Lectures on Integration and Finding primitive Functions című kiadványt, ahol felvázolta mértékelméletét , és reményét fejezte ki, hogy az alkalmazható lesz a valós számok bármely korlátozott halmazára. A Vitali-készlet felfedezése megmutatta, hogy ez a remény nem volt jogos. Ezt követően további ellenpéldákat fedeztek fel , de ezek felépítése alapvetően mindig a választás axiómáján alapul .
Épület
Tekintsük a következő ekvivalencia-relációt az intervallumon : ha a különbség racionális . Szokás szerint ez az ekvivalenciareláció az intervallumot ekvivalenciaosztályokra bontja, amelyek mindegyike megszámlálható, de számuk kontinuum-számosságú . Továbbá minden ekvivalenciaosztályból választunk egy reprezentatív - egy pontot (itt a választási axiómát használjuk ). Ekkor a kapott képviselőkészlet mérhetetlen lesz.
![[0,\;1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2421e6dd8ecf6af6a9a44ebe41ff776dcf98d68e)
Valóban, ha az intervallumból megszámlálható számú racionális számmal eltoljuk , akkor az unió tartalmazza a teljes szegmenst , ugyanakkor benne lesz a szegmensben . Ebben az esetben a halmaz "eltolt másolatai" nem metszik egymást, ami közvetlenül következik a és a felépítéséből .
![[-1,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
![{\displaystyle [0,1],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/971caee396752d8bf56711f55d2c3b1207d4a236)
![{\displaystyle [-1,2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc5b328607efcb680d283c480e4845d34b684636)
Tegyük fel, hogy ez Lebesgue mérhető , akkor 2 lehetőség lehetséges.
- Az E mérték egyenlő nullával. Ekkor az intervallum mértéke , mint a nulla mértékhalmazok megszámlálható uniója, szintén egyenlő lesz nullával.
- Az E mérték nagyobb, mint nulla. Ekkor hasonlóan arra a következtetésre jutunk, hogy az intervallum mértéke a Lebesgue-mérték megszámlálható additivitása miatt végtelen lesz.
![[0,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
Mindkét esetben ellentmondás keletkezik. Így a Vitali halmaz nem Lebesgue mérhető.
Jegyzetek
- ↑ Vitali, Giuseppe . Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta (olasz) // Bologna, Tip. Gamberini és Parmeggiani: napló. — 1905.
Irodalom
- Brylevskaya L. I. A mértékprobléma történetéről a 20. század első felében // Történeti és matematikai kutatás . - M . : Nauka , 1986. - 30. sz . - S. 97-112 .
- Gelbaum, B., Olmsted, J. Ellenpéldák az elemzésben = Counterexamples in Analysis. — M. : LKI, 2007. — 258 p. — ISBN 978-5-382-00046-6 . .
- IV. Jascsenko A halmazelmélet paradoxonai. "Könyvtár" Matematikai oktatás " sorozat, 20. szám, 2002. ISBN 5-94057-003-8