Minimax verzió

A Minimax eversion a gömbváltozatok  egy osztálya köztes modellek segítségével .

Ez egy variációs módszer, és speciális homotópiákból áll (amelyek a Willmore-energiában a legrövidebb utak ).

A köztes modellek eredeti módszere nem volt optimális - a szokásos homotópiák köztes modelleken mennek keresztül, de a kerek gömbtől a köztes modellig vezető utat manuálisan építették meg, és nem gradiens emelkedés/leszállás volt.

A közbülső mintákon keresztül történő átfordítást erszényfüzér -verziónak nevezzük [1] .

Köztes modellek

A köztes modell a gömb bemerülése, és azért hívják így, mert ez a gömb kifordításának köztes fázisa . Ennek az inverziós osztálynak van időbeli szimmetriája – a szabályos homotópia első fele a szabályos kerek gömböt képezi le a közbenső modellre, a második fele pedig (amely a közbenső modellt az átfordított gömbre képezi le) ugyanez a folyamat fordítva.

Magyarázat

Rob Kushner az everzió optimális változatát javasolta a Willmore-energiát használva a gömb minden elmerülésének területén . Egy kerek gömb és egy fordított kerek gömb az egyetlen globális minimum a Willmore-energiának, a minimax inverzió pedig egy olyan út, amely ezeket az állapotokat egy nyeregponton keresztül köti össze (hasonlóan két völgy közötti utazáshoz egy hegyi úton) [2] .

A köztes Kushner-modellek nyeregpontjai a háromdimenziós tér bizonyos teljes minimális felületeiről (Brian tétele szerint) keletkező Willmore-energia számára. A minimax verzió egy gradiens emelkedésből áll egy kerek gömbből egy köztes modellbe, majd egy gradiens ereszkedésből egy kifordított gömbbe (a Willmore energián történő gradiens süllyedést Willmore-áramlásnak nevezik ). Szimmetrikusabban kezdje el egy köztes modellel, mozogjon egy irányba, és menjen le a Willmore-patakon egy kör alakú gömbig, majd az ellenkező irányba haladjon le a Willmore-patakon egy kifordított gömbig.

A köztes modelleknek két családja van (ez a megfigyelés Francis és Morin nevéhez fűződik):

• páratlan sorrend: a Boy felület általánosítása : 3-szoros, 5-szörös stb. szimmetria. A közbülső modell egy kétszeresen fedett projektív sík (általában egy 2-1 egymásba ágyazott gömb).
• páros sorrend: a Morin felület általánosítása : 2-szeres, 4-szeres stb. szimmetria. A köztes modell általában egy 1-1 egymásba ágyazott gömb, és egy félfordulat felcseréli a gömb felületeit.

Történelem

Az első jól definiált gömbváltozatot Shapiro és Phillips javasolta az 1960-as évek elején, közbenső modellként a Boy felületet használva. Morin később felfedezte a felszínt (ma róla nevezték el), és felhasználta a gömb más inverzióinak megalkotására. Kushner az 1980-as évek elején állt elő a minimax verzióval – történelmi részletekkel .

Jegyzetek

1. ↑ Carter, 2012 , p. 17.
2. ↑ Emmer, 2005 , p. 485.

Irodalom

• A hajlítási energia és a minimax kitérések ( John M. Sullivan " The Optiverse" című művében és más szféraváltozatokban )
• Michele Emmer. A vizuális elme II . - MIT Press, 2005. - ISBN 978-0-262-05076-0 .
• J. Scott Carter. Kirándulás a diagrammatikus algebrában: A gömb átfordítása pirosról kékre . - World Scientific, 2012. - ISBN 978-981-4374-50-7 .