Mikrokanonikus együttes

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2018. július 28-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A mikrokanonikus együttes egy makroszkopikus izolált rendszer statisztikai együttese , amelynek állandó értékei V térfogat, N részecskék száma és E energia. A mikrokanonikus együttes fogalma idealizálás, mivel a valóságban nincsenek teljesen elszigetelt rendszerek. A mikrokanonikus Gibbs-eloszlásban az ergodikus hipotézis szerint minden adott energiának megfelelő mikroszkopikus állapot egyformán valószínű . A szerző által bizonyított Gibbs-tétel kimondja, hogy a mikrokanonikus együttes egy kis része kanonikus együttesnek tekinthető .

Klasszikus statisztika

Ha a Hamilton-függvényt H (q, p) -vel jelöljük , vagyis az egyes részecskék q koordinátáitól és p momentumától függő rendszer energiáját, akkor a részecskeeloszlási függvény rajtuk csak a fázison lesz egyenletes és nullától eltérő. felület H (q, p) = E:

$\rho (q,p)=g^{-1}\delta (H(q,p)-E)$ ,

ahol δ a delta-függvény , és a konstans g az állapotok sűrűsége (azaz a fázistérfogat), amelyet az a feltétel határoz meg, hogy az eloszlásfüggvényt egységre normalizáljuk, ha minden különböző mikroállapotra integráljuk:

${\frac {1}{N!}}\int \rho (q,p)d\Gamma =1$

dГ a fázistérfogat eleme , amely klasszikus esetben , kvantum esetben pedig háromdimenziós térben , ahol h Planck állandója ( ). Azaz a fázistérfogat dГ eleme, a Dirac-állandóval kifejezve, $d\Gamma =dpdq$ ${\displaystyle d\Gamma =dpdq/h^{3N))$ $h=2\pi \hbar$ ${\displaystyle d\Gamma ={\frac {dpdq}{(2\pi \hbar )^{3N))))$

Energia intervallum

Ha a rendszer ΔE pontosságú E energiával rendelkezik, akkor a rétegben lévő energiájú állapotokat (E, E + ΔE) is kiegyenlítőnek tekintjük: $\rho (q,p)={\begin{cases}{\frac {1}{g\Delta E)),&E\leq H(q,p)\leq E+\Delta E\\0, &|H(p,q)-E|>\Delta E\end{esetek}}$

Itt a normalizálási tényező a statisztikai súly (azaz a réteg állapotainak száma, fázistérfogata), amelyet a makroállapot adott paraméterei határoznak meg. $g\Delta E={\frac {d\Gamma }{dE))\Delta E=\Delta \Gamma (E,N,V)$

Kvantumstatisztika

A kvantumrendszerekben a ΔE a megfigyelés idejéből adódó bizonytalansági relációból adódik. Ebben az esetben teljesen izolált rendszerek együttesét tekinthetjük, ha ΔE/E → 0. A rétegben (E, E + ΔE) lévő energiájú kvantumállapotok egyenletes valószínűségi eloszlása hasonló a fent leírtakhoz: $w(E_{k})$ $E_k$ $w(E_{k})={\begin{cases}{\frac {1}{\Delta \Gamma )),&E\leq E_{k}\leq E+\Delta E\\0,&| E_{k}-E|>\Delta E\end{cases}}$

Ebben az esetben a normalizálás diszkrét: $\sum _{k}w(E_{k})=1$

Termodinamika

A termodinamikai potenciálok és ezzel együtt a mikrokanonikus együttes teljes termodinamikája a statisztikai súllyal közvetlenül összefüggő entrópiából épül fel a Boltzmann -formulával : , ahol k a Boltzmann-állandó . $S(E,N,V)=k~ln\Delta \Gamma (E,N,V)$

A mikrokanonikus eloszlás itt a gyakorlati felhasználás szempontjából kényelmetlen, mivel a statisztikai súly kiszámításához a rendszer összes mikroállapotát ki kell számítani.

Numerikus szimuláció

A mikrokanonikus együttes numerikus Monte Carlo szimulációja is nehézségekkel jár - elvégre az energia szigorúan rögzített, így véletlenszerű változását nem szabad elfelejteni, hanem minden lépésnél megadni és megtenni egy virtuális alrendszeren ("démon", analóg) keresztül. Maxwell démonának ), amelynek energiája nem, át kell ugrania a nulla küszöböt (a konfiguráció elfogadási feltétele a Monte Carlo lépésben).