Tér-idő metrika

A téridő metrika a 4-tenzor , amely a téridő tulajdonságait határozza meg az általános relativitáselméletben .

Jellemzően a szimbólum jelöli . $g_{{ij}}$

Az inerciális vonatkoztatási rendszerben a metrikus tér-idő tenzor mátrixának alakja van

{\hat {g}}=\left({\begin{mátrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{mátrix}}\jobbra)

A nem inerciális vonatkoztatási rendszerekben a tér-idő metrika formája változik, és általában a tér egy pontjától és egy időpillanattól függ.

A tér-idő metrika beállítja a tér görbületét , amelyet a megfigyelő érzékel, aki gyorsulással mozog . Mivel az ekvivalencia elve alapján a megfigyelő semmilyen módon nem tudja megkülönböztetni a hozzá tartozó vonatkoztatási rendszer tehetetlenségét a gravitációs tértől, a tér-idő metrika a tér görbületét is meghatározza a tömeges testek terén.

A téridő intervallumot a téridő metrikán keresztül fejezzük ki a képlettel

{\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j))

Mivel a metrika beállítja a koordináták transzformációit, metrikus tenzornak is nevezik .

A tér-idő metrika arra szolgál, hogy kapcsolatot létesítsen bármely 4-vektor kovariáns és kontravariáns bejegyzései között.

{\displaystyle A_{i}=g_{ij}A^{j))

Tulajdonságok

A metrikus tenzor szimmetrikus az indexeihez képest, azaz . Ez látható a téridő intervallum négyzetes differenciájának általános képletéből. A tér-idő metrika meghatározója, amelyet g-vel jelölünk, negatív. $g_{{ij}}=g_{{ji}}$

A metrikus tenzor kontravariáns formája egy teljesen antiszimmetrikus negyedrendű tenzor segítségével kapcsolódik a kovariáns alakhoz

E^{ijkl}={\frac {1}{\sqrt {-g}}}e^{ijkl}

ahol az inerciális vonatkoztatási rendszerben meghatározott szokásos teljesen antiszimmetrikus tenzor, azaz egy tenzor, amelynek összetevői egyenlőek 1-gyel vagy -1-gyel, és előjelet változtat, ha bármely két index felcserélődik. $e^{{ijkl}}$

Ily módon

g^{ij}={\frac {1}{\sqrt {-g}}}e^{ijkl}g_{kl}

A metrikus tenzor, mint minden szimmetrikus tenzor, átlós alakra redukálható referenciarendszer kiválasztásával. Ez a művelet azonban csak a téridő egy bizonyos pontjára érvényes, és általában nem hajtható végre a teljes téridőre.

Saját idő

A téridő intervallum differenciáljának négyzete egy térbeli pontra egyenlő

ds^{2}=g_{{00}}(dx^{0})^{2}=c^{2}d\tau ^{2}

ahol c a fény sebessége vákuumban .

az érték

\tau ={\frac {1}{c}}\int {\sqrt {g_{{00}}}}dx^{0}

egy adott térpontra megfelelő időnek nevezzük .

Térintervallum

Két végtelenül közeli pont távolságának négyzetét adjuk meg

dl^{2}=\gamma _{{\alpha \beta }}dx^{\alpha }dx^{\beta }=\left(-g_{{\alpha \beta }}+{\frac {g_{ {\alpha 0}}g_{0\beta }}}{g_{{00}}}}\right)dx^{\alpha }dx^{\beta }

A görög indexeket akkor használjuk, ha az összegzés csak térbeli koordinátákon történik. A tenzor a háromdimenziós tér metrikus tenzora. $\gamma _{{\alpha \beta ))$

Az így meghatározott távolságot nem lehet integrálni, mivel az eredmény attól függne, hogy melyik világvonal mentén történne az integráció. Így az általános relativitáselméletben értelmét veszti a háromdimenziós térben lévő távoli objektumok közötti távolság fogalma. Az egyetlen kivétel az a helyzet, amikor a metrikus tenzor nem függ az időtől. $g_{{ij}}$

Lásd még

Statikus izotróp metrika

Linkek

Landau L.D. , Lifshits E.M. Elméleti fizika. kontra II. Mezőelmélet . - M . : Nauka, 1974. - T. 2.
G. A. Zisman. [bse.sci-lib.com/article076056.html Téridő metrika A "Téridő metrikája " szó jelentése a Nagy Szovjet Enciklopédia-ban ] . bse.scilib.com. Letöltve: 2009. június 10. Az eredetiből archiválva : 2012. április 2.. (határozatlan)