Akkordmódszer

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. október 15-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 12 szerkesztést igényelnek .

Az akkordmódszer egy iteratív numerikus módszer egy egyenlet közelítő gyökerének megtalálására .

A szekáns módszer geometriai leírása

Megkeressük a függvény nulláját . Válasszunk ki két kiindulási pontot , és húzzunk egy vonalat rajtuk. A pontban metszi az x tengelyt . Most keressük meg az abszcissza függvény értékét . Ideiglenesen figyelembe vesszük a szegmens gyökerét . Legyen a pontnak abszcisszája , és feküdjön a grafikonon. Most pontok helyett pontot és pontot fogunk venni . Most ezzel a két ponttal ugyanazt a műveletet hajtjuk végre, és így tovább, azaz kapunk két pontot , és ismételjük meg velük a műveletet. Az utolsó két pontot összekötő szakasz egy olyan pontban metszi az abszcissza tengelyt, amelynek abszcisszaértéke megközelítőleg gyökérnek tekinthető. Ezeket a műveleteket addig kell ismételni, amíg meg nem kapjuk a gyökérértéket a kívánt közelítéssel. $f(x)$ $C_{{1}}(x_{{1}};y_{{1}})$ $C_{{2}}(x_{{2}};y_{{2}})$ $(x_{{3}};0)$ $x_{{3}}$ $x_{{3}}$ $[x_{{1}};x_{{2}}]$ $C_{{3}}$ $x_{{3}}$ $C_{1}$ $C_{2}$ $C_{{3}}$ $C_{2}$ $C_{{n+1}}$ $C_{{n}}$

A szekáns módszer algebrai leírása

Legyen a húrvégek abszcisszái, legyen a szekant módszerrel megoldott függvény egyenlete. Keresse meg az együtthatókat és az egyenletrendszerből ! $x_{1},x_{2}$ $f(x)=0$ $k$ $b$

\left\{{\begin{aligned}f(x_{1})&=kx_{1}+b,\\f(x_{2})&=kx_{2}+b.\\\ vége{igazított}}\jobbra.

Vonjuk ki a másodikat az első egyenletből:

f(x_{1})-f(x_{2})=k(x_{1}-x_{2}),

akkor megtaláljuk az együtthatókat és : $k$ $b$

k={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1))},

akkor

b=f(x_{1})-{\frac {(f(x_{2})-f(x_{1}))x_{1}}{x_{2}-x_{1}} }.

Az egyenlet felveszi a formát

y={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1})+f(x_{ egy}).

Így most megtalálhatjuk a szekáns módszerrel kapott gyökér első közelítését:

x_{3}=x_{1}-{\frac {(x_{2}-x_{1})f(x_{1})}{f(x_{2})-f(x_{1) })}}.

Most vegyük a koordinátákat , és ismételjük meg az összes elvégzett műveletet, keresve egy új közelítést a gyökérhez. Így a szekant módszer iteratív képlete a következő: $x_{2}$ $x_{3}$

x_{i+1}=x_{i-1}-{\dfrac {f(x_{i-1})\cdot (x_{i}-x_{i-1})}{f(x_ {i})-f(x_{i-1})}}.

A műveletet addig kell ismételni, amíg az kisebb vagy egyenlő nem lesz, mint a megadott hibaérték. $|x_{i}-x_{i-1}|$

Akkordmódszer iteratív képlettel

Néha a szekantáló módszert iteratív képletű metódusnak nevezik

x_{i+1}=x_{i}-{\dfrac {f(x_{i})\cdot (x_{i}-x_{0})}{f(x_{i})-f (x_{0})}}.

Ez a módszer az egyszerű iterációs módszer egy változatának tekinthető, és lassabb a konvergencia üteme. Továbbá a határozottság kedvéért ezt a módszert akkordmódszernek, az előző részben leírt módszert pedig szekáns módszernek nevezzük.

Példa a secant metódus használatára

Az egyenletet szekáns módszerrel oldjuk meg. Állítsuk be az ε=0,001 pontosságot, és vegyük kezdeti közelítésnek annak a szegmensnek a végeit , amelyen a gyökér el van választva: és , számértékek és tetszőlegesen választottak. A számításokat addig végezzük, amíg az egyenlőtlenség teljesül . $x^{3}-18x-83=0$ $x_0$ $x_{1}$ $x_{0}=8$ $x_{1}=3$ $x_{0}=8$ $x_{1}=3$ $|x_{i+1}-x_{i}|<\varepsilon$

Példánkban az érték helyettesítve van , és az érték be van helyettesítve . Az érték az ezzel a képlettel kapott numerikus érték lesz . A jövőben behelyettesítjük a képletbe az értékben és az értékben . $x_{{i-1}}$ $x_{0}=8$ $x_{i}$ $x_{1}=3$ $x_{{i+1}}$ $x_{2}=\aláhúzás {}4,3924051$ $x_{2}=\aláhúzás {}4,3924051$ $x_{i}$ $x_{1}=3$ $x_{{i-1}}$

Ezzel a képlettel következetesen a következőt kapjuk (a megfelelő számjegyek aláhúzva): (kép az akkordok módszeréből, de nem a szekánsokból, kérjük, válassza szét a szakaszokat)

x_{2}=\aláhúzás {}4,3924051

; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

x_{3}=\aláhúzás {5},1622721

x_{4}=\aláhúzás {5}.4988422

x_{5}=\aláhúzás {5,6}295040

x_{6}=\aláhúzás {5.6}777792

x_{7}=\aláhúzás {5.6}952826

x_{8}=\aláhúzás {5.70}15852

x_{9}=\aláhúzás {5.70}38490

x_{{10}}=\aláhúzás {5.704}6613

x_{{11}}=\aláhúzás {5.704}9528

Vizsgáljuk meg, hogy a metódus akkor is működik-e, ha és a gyökér ugyanazon oldalán van kiválasztva (vagyis ha a gyökér nincs elválasztva a kezdeti közelítések közötti szakaszon). Vegyük ugyanazt az egyenletet és . Aztán: (a kép már nem a szekant módszerből, hanem a dichotómia módszerből van ) $x_0$ $x_{1}$ $x_{0}=8$ $x_{1}=7$

x_{2}=\aláhúzás {}6,1125828

; ; ; ; ; ; ; ;

x_{3}=\aláhúzás {5}.8452240

x_{4}=\aláhúzás {5.7}546403

x_{5}=\aláhúzás {5.7}227874

x_{6}=\aláhúzás {5.7}114425

x_{7}=\aláhúzás {5.70}73836

x_{8}=\aláhúzás {5.705}9290

x_{9}=\aláhúzás {5.705}4075

Ugyanazt a gyökérértéket kaptuk ugyanannyi iterációban.

A szekant módszer konvergenciája

A szekáns módszer iterációi a gyökérhez konvergálnak, ha a kezdeti értékek és kellően közel vannak a gyökérhez. A szekáns módszer gyors. Az α konvergencia sorrendje megegyezik az aranymetszővel : $f(x)$ $x_{0}$ $x_{1}$

\alpha ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1{,}618...

Így a konvergencia sorrendje nagyobb, mint lineáris, de nem másodfokú, mint a kapcsolódó Newton-módszer esetében .

Ez az eredmény akkor érvényes, ha kétszer differenciálható , és a gyök nem többszörös - . $f(x)$ $\xi$ $f'(\xi )\neq 0$

A legtöbb gyors módszerhez hasonlóan a szekantáló módszerhez is nehéz konvergencia feltételeket megfogalmazni. Ha a kiindulási pontok elég közel vannak a gyökérhez, akkor a metódus konvergál, de nincs általános definíció a "elég közel"-re. A módszer konvergenciáját az határozza meg, hogy a függvény mennyire "hullámos" . Például, ha az intervallumban van egy pont, amelynél , akkor előfordulhat, hogy a folyamat nem konvergál. $[x_{0},x_{1}]$ $f'(x)=0$

Az akkordok módszerének kritériuma és konvergenciája

Ha egy kétszer folytonosan differenciálható függvény, és az előjel megmarad a vizsgált intervallumon, akkor a kapott közelítések monoton konvergálnak a gyökhöz. Ha az egyenlet gyöke az intervallumon van , a deriváltok és ezen az intervallumon folytonosak és állandó előjelűek és , akkor bebizonyítható [1] , hogy a közelítő megoldás hibája nullára hajlik -nél , azaz a módszer konvergál és konvergál egy geometriai progresszió sebességével (ebben az esetben azt mondják, hogy lineáris a konvergencia sebessége ). $f(x)$ $f''(x)$ $\xi$ $f(\xi )=0$ $[a,b]$ $f'(x)$ $f''(x)$ $f''(b)f(b)>0$ $n\jobbra nyíl\infty$

Történelmi háttér

Az első, aki közelítő megoldásokat tudott találni a köbös egyenletekre , Diophantus volt , ezzel megalapozva az akkordok módszerét. Diophantus fennmaradt művei erről számolnak be. Elsőként azonban Fermat értette meg módszereit a 17. században, az akkordok módszerét pedig Newton (1670-es évek). [2]

Megvalósítás

C++

#include <iostream> #include <math.h> double f ( double x ) { return sqrt ( fabs ( cos ( x ))) - x ; // Cserélje le azzal a függvénnyel, amelynek gyökereit keressük } // a, b - chord limits, epsilon - szükséges hiba double findRoot ( double a , double b , double epsilon ) { while ( fabs ( b - a ) > epsilon ) { a = b - ( b - a ) * f ( b ) / ( f ( b ) - f ( a )); b = a - ( a - b ) * f ( a ) / ( f ( a ) - f ( b )); } // a, b — (i - 1)-edik és i-edik tag visszatér b ; }

Python

matematikából import sin gépelésből import Hívható import egységteszt _ _ def secant ( f : hívható [[ float ], float ], x0 : float , eps : float = 1e-7 , kmax : int = 1e3 ) -> float : """ megoldja az f(x) = 0-t szekant módszerrel pontosság eps :param f: f :param x0: kezdőpont :param eps: pontosság kívánt :return: f(x) = 0 gyöke """ x , x_prev , i = x0 , x0 + 2 * eps , 0 míg abs ( x - x_prev ) >= eps és i < kmax : x , x_prev , i = x - f ( x ) / ( f ( x ) - f ( x_prev )) * ( x - x_prev ), x , i + egy vissza x osztály TestSecant ( unittest . TestCase ): def teszt_0 ( self ): def f ( x : float ) -> float : return x ** 2 - 20 * sin ( x ) x0 , x_star = 2 , 2,7529466338187049383 önmaga . assertAlmostEqual ( secant ( f , x0 ), x_star ) if __name__ == '__main__' : egységteszt . fő ()

Módosítások

A false position metódus csak abban különbözik a szekantáló módszertől, hogy minden alkalommal nem az utolsó 2 pontot veszik fel, hanem azokat, amelyek a gyökér körül vannak.

Lásd még

Irodalom

Demidovich B. P. és Maron I. A. A számítási matematika alapjai. - Tudomány, 1970. - S. 664.
Bahvalov, Zsidkov, Kobelkov. Numerikus módszerek. - A tudomány. — ISBN 5-94774-060-5 .

Jegyzetek

↑ Algebra (elérhetetlen link) . Letöltve: 2009. november 24. Az eredetiből archiválva : 2007. december 3.. (határozatlan)
↑ A matematika és története. John Stillwell