Relaxációs módszer

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. november 23-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A relaxációs módszer (a lat. relaxatio szóból itt „redukció”) egy iteratív módszer lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására .

A módszer leírása

Lineáris egyenletrendszer

$\left\{ \begin{mátrix} a_{11}x_1 + \ldots + a_{1n}x_n & = & b_1\\ a_{21}x_1 + \ldots + a_{2n}x_n & = & b_2\\ & \ldots & \\ a_{n1}x_1 + \ldots + a_{nn}x_n & = & b_n\\ \end{mátrix} \jobbra.$

formára redukálva [1]

$\left\{{\begin{matrix}P_{11}x_{1}+P_{12}x_{2}+\ldots +P_{1n}x_{n}+c_{1}&=&0 \\&\lpontok &\\P_{n1}x_{1}+P_{n2}x_{2}+\lpont +P_{nn}x_{n}+c_{n}&=&0\\\end{ mátrix}}\jobbra.$

ahol ,. _ Vagyis mind = -1. $P_{ij}=-{\frac {a_{ij}}{a_{ii}}}$ $c_i = \frac{b_i}{a_{ii}}$ $P_{ii}$

Maradékok találhatók : $R_{j}$

$\left\{{\begin{matrix}R_{1}^{(0)}&=&c_{1}-x_{1}^{(0)}+\sum \limits _{j=2 }^{n}P_{1j}x_{j}^{(0)}\\R_{2}^{(0)}&=&c_{2}-x_{2}^{(0)}+\ összeg \limits _{j=1,j\neq 2}^{n}P_{2j}x_{j}^{(0)}\\&\lpontok &\\R_{n}^{(0)} &=&c_{n}-x_{n}^{(0)}+\sum \limits _{j=1}^{n-1}P_{nj}x_{j}^{(0)}\\ \end{mátrix}}\jobbra.$

A kezdeti közelítést választjuk . Minden lépésnél a maximális eltérést nullára kell állítani: . $X^{(0)} = 0$ $R_{s}^{(k)}=\delta x_{s}^{(k)}\Rightarrow R_{s}^{(k+1)}=0,R_{i}^{( k+1)}=R_{i}^{(k)}+P_{is}\delta x_{s}^{(k)}$

Leállási feltétel: . $|R_j^{(k)}| < \varepsilon, \forall j = \overline{1, n}$

A választ a következő képlet adja meg: . $x_i \körülbelül x_i^{(0)} + \sum_j \delta x_i^{(j)}$

Jegyzetek

↑ Salvadori M.J. Numerikus módszerek a mérnökökben. - M. , Vuzovskaya kniga, 2007. - ISBN 5-9502-0186-8 - p. 36-42

Az SLAE megoldásának módszerei
Közvetlen módszerek	Mátrix módszer Gauss módszer Gauss-Jordan módszer Cramer módszer LU bomlás Cholesky-bomlás Sweep módszer
Iteratív módszerek	Jacobi módszer Gauss-Seidel módszer Iterációs módszer Relaxációs módszer Konjugált gradiens módszer Bikonjugált gradiens módszer Stabilizált bikonjugátum gradiens módszer
Tábornok	inverz mátrix Vetítési módszerek SLAE megoldására Előkondicionálás