Ferrari módszer

A Ferrari módszer egy analitikus módszer egy negyedik fokú algebrai egyenlet megoldására , amelyet Lodovico Ferrari olasz matematikus javasolt .

A módszer leírása

Legyen a harmadfokú egyenlet alakja $négy$

x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0

(egy)

If a köbegyenlet tetszőleges gyöke $y_1$

y^{3}-by^{2}+(ac-4d)ya^{2}d+4bd-c^{2}=0

(2)

( főegyenlet megoldói ), akkor az eredeti egyenlet négy gyökét két másodfokú egyenlet gyökeként találjuk

x^{2}+{\frac {a}{2}}x+{\frac {y_{1}}{2}}=\pm {\sqrt {\left({\frac {a^{2}} {4}}-b+y_{1}\jobbra)x^{2}+\left({\frac {a}{2}}y_{1}-c\right)x+{\frac {y_{1 }^{2}}{4}}-d}},

ahol a jobb oldali radikális kifejezés tökéletes négyzet. Figyeljük meg, hogy az eredeti (1) negyedik fokú egyenlet és a (2) egyenlet diszkriminánsai egybeesnek.

A negyedik fokozat egyenletét a következő formában ábrázoljuk:

Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0,

Megoldása a következő kifejezésekből kereshető:

\alpha =-{3B^{2} \over 8A^{2}}+{C \over A},

\beta ={B^{3} \over 8A^{3}}-{BC \over 2A^{2}}+{D \over A},

\gamma = -{3 B^4 \over 256 A^4} + {B^2 C \over 16 A^3} - {BD \over 4 A^2} + {E \over A},

ha , akkor megoldva és behelyettesítve megtaláljuk a gyököket:

\beta=0

u^{4}+\alpha u^{2}+\gamma =0

x=u-{B\over 4A}

x=-{B \over 4A}\pm _{s}{\sqrt {-\alpha \pm _{t}{\sqrt {\alpha ^{2}-4\gamma }} \over 2)), \qquad \beta =0

P=-{\alpha ^{2} \over 12}-\gamma ,

Q=-{\alpha ^{3} \over 108}+{\alpha \gamma \over 3}-{\beta ^{2} \over 8},

R=-{Q \over 2}\pm {\sqrt {{Q^{{2}} \over 4}+{P^{{3}} \over 27}}}

, (bármilyen négyzetgyökjel megfelelő)

U={\sqrt[ {3}]{R}}

, (három összetett gyökér, amelyek közül az egyik megteszi)

y=-{5 \over 6}\alpha +U+{\begin{cases}U=0&\to -{\sqrt[ {3}]{Q}}\\U\neq 0&\to {-P \over 3U}\end{cases}},

W={\sqrt {\alpha +2y))

x=-{B \over 4A}+{\pm _{s}W\pm _{t}{\sqrt {-\left(3\alpha +2y\pm _{s}{2\beta \over W }\jobbra)}} \2} felett.

Itt és két független paraméter található, amelyek mindegyike vagy , vagy . Értékük lehetséges párjainak száma négy, és mindegyik pár a negyedik fokú eredeti egyenlet négy gyökének egyikét állítja elő. Ha bármelyik gyök többszöröse , akkor az azt adó értékpárok száma megegyezik a többszörösségének mértékével. A választástól függően (a kocka gyökér vételekor kétértelműség adódik) a gyökök eltérő sorrendben illeszkednek a párokhoz.

{\displaystyle \pm _{s))

{\displaystyle \pm _{t))

+

-

{\displaystyle \pm _{s))

{\displaystyle \pm _{t))

U

Következtetés

Legyen egy kanonikus alak egyenlete:

\ x^{4}+ax^{2}+bx+c=0

Jelöljük az egyenlet gyökereit így . Az egyenlet kanonikus formájú gyökére a következő összefüggés áll fenn: $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$

\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0:

Ennek az egyenletnek legalább két érvénytelen gyöke lesz, amelyek konjugálva lesznek egymással. Feltételezzük, hogy ez

\ x_{3}=-W+iV

\ x_{4}=-W-iV

És valós számok . Ekkor a másik két gyök is felírható $W$ $V$

\ x_{1}=W+iK

\ x_{2}=W-iK

Itt lehet valós vagy pusztán képzeletbeli. A-t az egyenlet gyökeivel fejezzük ki $K$

\ a=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{ 3}x_{4}=x_{1}x_{2}+(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})+x_{3}x_{4}=

\ =(W^{2}+K^{2})+(W^{2}+V^{2})-4W^{2}=V^{2}+K^{2}-2W^ {2}

K-t a fennmaradó együtthatókkal fejezzük ki:

\ K^{2}=a+2W^{2}-V^{2}

\ c=x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}=W^{4}+(V^{2}+K^{2})W^{2}+K^{2} V^{2}=W^{4}+2W^{4}+aV^{2}+2W^{2}V^{2}-V^{4}+aW^{2}

vagy

\ V^{4}-(a+2W^{2})V^{2}+c-3W^{4}-aW^{2}=0

Teljes

\ V^{2}=1/2((a+2W^{2})\pm {\sqrt {a^{2}-4c+8aW^{2}+16W^{4))})

\ b=x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3} x_{4}=(W^{2}+K^{2})\cdot (-2W)+(W^{2}+V^{2})\cpont (2W)=2W(V^{2) }-K^{2})=

\ =2W(2V^{2}-a-2W^{2})=2W\cdot {\sqrt {a^{2}-4c+8aW^{2}+16W^{4))}

Vagy $\ b^{2}=4W^{2}\cdot (a^{2}-4c+8aW^{2}+16W^{4})$

Innen $\ 64W^{6}+32aW^{4}+4(a^{2}-4c)W^{2}-b^{2}=0$

Cserélve azt a felbontást kapjuk , amelyet megoldva W $\ y=W^{2}$

Történelem

Luigi Ferrari 15 éves korától Gerolamo Cardano milánói matematikus tanítványa volt , aki gyorsan felfedezte kiemelkedő képességeit. Ekkor már Cardano is ismert egy algoritmust a köbös egyenletek megoldására ; A Ferrari hasonló módszert tudott találni a negyedik fokú egyenletek megoldására . Cardano mindkét algoritmust közzétette High Art című könyvében.

Ferrari módszer

A módszer leírása

Következtetés

Történelem

Lásd még

Linkek