Sűrűségi mátrix

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. május 1-jén felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

A sűrűségmátrix (sűrűség operátor, sűrűségmátrix operátor, statisztikai operátor) a kvantummechanikai rendszer állapotának leírásának egyik módja . Ellentétben a hullámfüggvénnyel , amely csak tiszta állapotok leírására alkalmas , a sűrűségoperátor egyformán definiálhat tiszta és kevert állapotokat is . A sűrűségoperátor koncepcióján alapuló formalizmust egymástól függetlenül L. D. Landau [1] és J. von Neumann [2] 1927 - ben [3] , valamint F. Bloch [4] 1946 - ban javasolta .

Definíció

A sűrűség operátor egy nem negatív önadjungált operátor , amelynek egységnyoma egy szeparálható Hilbert térre hat . Az egységnyi nyomvonal egyenlősége a teljes valószínűség egységnyi normalizálásának felel meg az adott állapottéren.

A sűrűség operátor szabványos jelölése a betű . A tiszta állapotnak megfelelő sűrűségoperátor az ortogonális projektor $\rho$ $|\psi \rangle ,$

\rho ^{2}=\rho ,

amely lehetővé teszi annak ábrázolását

\rho =|\psi \rangle \langle \psi |

A kevert állapotot, amely megfelel annak az esetnek, amikor a rendszer valószínűséggel mindegyik egymásra merőleges állapotban van , egy sűrűség operátor írja le $|\psi _{j}\rangle$ $p_{j}$

\rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|,

ahol

\sum _{j}p_{j}=1.

A sűrűségmátrix által adott állapotra a megfigyelhető átlagértéke az operátorok és az operátorok szorzatának nyoma : $A$ $\rho$ $A$ $\rho$

\langle A\rangle =\operátornév {Tr} (A\rho )

Nem nehéz belátni[ áramvonalas kifejezés ] , hogy a tiszta állapotok megfigyelhető átlagának megtalálásának szokásos szabálya ennek a képletnek egy speciális esete .

Tulajdonságok

A Hamilton-kvantumrendszer sűrűségoperátorának időbeli deriváltja a kommutátorban van kifejezve, és a Hamilton -egyenlet ${\frac {\partial \rho }{\partial t))={\frac {1}{i\hbar ))[{\mathcal {H)),\rho ]$

Ezt az egyenletet gyakran kvantum Liouville -egyenletnek és von Neumann-egyenletnek nevezik .

A sűrűségmátrix nyoma a teljes valószínűség normalizálása miatt egyenlő eggyel: $\operatorname {Tr} (\rho )=1$
A sűrűségmátrix négyzetének nyoma tiszta állapotok esetén eggyel egyenlő, vegyes állapotok esetén pedig mindig kisebb, mint egy: $\operatorname {Tr} (\rho ^{2})\leq 1$ és $\operatorname {Tr} (\rho ^{2})=1\iff \exists |\psi \rangle :\rho =|\psi \rangle \langle \psi |$

Alkalmazás

A sűrűségoperátor használata akkor válik szükségessé, ha egy kvantummechanikai rendszer állapota ilyen vagy olyan okból nem tekinthető tisztának. Ez a helyzet különösen a kvantumstatisztikában fordul elő . Ebben az esetben a sűrűségoperátor a klasszikus statisztikai mechanikában megjelenő sűrűségeloszlási függvény természetes analógja a fázistérben . Ezenkívül a kvantummechanikai mérési eljárást úgy értelmezik, mint átmenetet a kezdeti tiszta állapotból a kevert állapotba. $|\psi \rangle$

\rho =\sum _{j}|e_{j}\rangle |\langle e_{j}|\psi \rangle |^{2}\langle e_{j}|

ahol a mért mennyiségek választott teljes halmazának megfelelő bázisvektorok vannak. $|e_{j}\rangle$

Ez utóbbi a nyílt kvantumrendszerek leírásának speciális esete , amelyek többek között a külső megfigyelésnek alávetett rendszereket is magukban foglalják. Általánosságban elmondható, hogy a környezettel kölcsönhatásba lépő nyílt rendszerek sűrűségi mátrix segítségével történő leírásának formalizmusa hasznos a dekoherencia jelenségének vizsgálatában , amikor a rendszer állapota nem tekinthető tisztának, és maga a jelenség a rendszer bomlásához vezet. a sűrűség operátor átlótól eltérő mátrixelemei (az interakciós operátor sajátértékei alapján), és ennek megfelelően a rendszer átmenete vegyes állapotba .

Tiszta és vegyes állapotok

A kvantummechanikában a kvantumrendszer állapota állapotvektorral írható le . Ebben az esetben tiszta állapotról beszélünk . Lehetséges azonban egy rendszer különböző állapotvektorokból álló statisztikai halmazban is: például 50% esélye lehet annak, hogy az állapotvektor , és 50% az esélye annak, hogy az állapotvektor . Ez a rendszer vegyes állapotban lesz. A sűrűségmátrixok különösen hasznosak kevert állapotok esetén, mivel bármely állapot, legyen az tiszta vagy vegyes, jellemezhető sűrűségmátrixszal. $|\psi \rangle$ $|\psi _{1}\rangle$ $|\psi _{2}\rangle$

A kevert állapot különbözik a kvantum-szuperpozíciótól. Valójában egy tiszta állapot kvantum-szuperpozíciója egy másik tiszta állapot, például . Másrészt a vegyes állapotra példa lenne , ahol egy valós szám, amely véletlenszerűen változik a különböző fotonok között. $|\psi \rangle =(|\psi _{1}\rangle +|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2))$ $A$ $A=(|\psi _{1}\rangle +e^{i\theta }|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2))$ $\theta$

Lásd még

Sűrűségfüggvény elmélet

Jegyzetek

↑ Landau L. D. , Ztshr. Phys. bd. 45. S. 430 (1927) // Landau L. D. "The problem of damping in wave mechanics" a "Landau L. D. Collection of Works" című könyvben. 1. kötet M.: Nauka, 1969. 18-31.
↑ J. von Neumann , Göttingen Nachr., 247 (1927). Lásd még J. von Neumann . A kvantummechanika matematikai alapjai, - M .: Nauka 1964.
↑ Landau néhány hónappal korábban vezette be a sűrűségmátrix fogalmát a kvantummechanikába, mint Neumann, de a formalizmust Neumann szisztematikusabban fejlesztette ki.
↑ F. Bloch , Nukleáris indukció. Phys. Fordulat. 70, 460 (1946)].

Irodalom

Belousov Yu. M., Man'ko V. I. Sűrűségmátrix. Ábrázolások és alkalmazások a statisztikai mechanikában. - M. : MIPT, 2004. - 163 p.
Bloom K. A sűrűségmátrix elmélet és alkalmazásai. — M .: Mir, 1983. — 248 p.
Bondarev BV Sűrűségmátrix módszer a kooperatív jelenségek kvantumelméletében. - M. : Szputnyik +, 2001. - 250 p.
Boum A. Kvantummechanika: alapok és alkalmazások. — M .: Mir, 1990. — 720 p.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Kvantummechanika (nem relativisztikus elmélet). — 4. kiadás. — M .: Nauka , 1989. — 768 p. - (" Elméleti fizika ", III. kötet). - ISBN 5-02-014421-5 . - tizennegyedik §.
Mestechkin MM A sűrűségmátrix módszer a molekulák elméletében. - K . : Naukova Dumka, 1977. - 352 p.
von Neumann J. A kvantummechanika matematikai alapjai. - M. : Nauka, 1964. - 368 p.