Lokális zéta függvény

A kongruencia zéta függvény egy prototípus a fontos Hasse-Weil L-függvény megalkotásához , amely egy alaksorozat

Z(V,T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k}}{k}}T^{k}\right )

véges mezőkben egy affin vagy projektív változat pontjainak sorozatára épül . $N_{k}$ $V$

Lokális zéta függvény . Ehhez létezik a Riemann-hipotézis analógja . $\zeta (X,s)=Z(X,p^{-s})$

Definíció

Legyen affin vagy projektív változat egy véges mező felett . A sokaság kongruencia zéta függvénye formális hatványsorként van definiálva $V$ $\mathbb {F} _{q}$ $V$ $\mathbb {F} _{q}$

Z(V/\mathbb {F} _{q},T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k)){ k}}T^{k}\jobbra)

ahol , és a pontok száma -ben . A számok végesek a véges mező feletti véges dimenzió bármely affin vagy projektív változatának végessége miatt. $\exp(u)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {u^{k}}{k!)}}$ $N_{k}$ $V$ $\mathbb {F} _{q^{k))$ $N_{k}$

A lokális zéta függvény egy függvény , itt a mező jellemzője , egy összetett változó. $\zeta (X,s)=Z(X,p^{-s})$ $p$ $\mathbb {F} _{q}$ $s\in \mathbb {C}$

Példák

Vegyük az egyenletet , geometriailag ez azt jelenti, hogy ez csak egy pont. Ebben az esetben minden . Akkor $x=0$ $V$ $N_{k}=1$

Z(V,t)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {T^{k}}{k}}\right)=\exp (-\ln(1-T))={\frac {1}{1-T))

Legyen egy projektív vonal felett . Ha , akkor van egy pontja: a mező összes pontja és egy végtelen pontja. Következésképpen $V$ $0x=0$ $F$ $F=\mathbb {F} _{q^{k}}$ $V$ $N_{k}=q^{k}+1$

Z(V,T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {(qT)^{k)){k))+{\frac {T^{k}}{k}}\right)=\exp \left(-\ln(1-qT)-\ln(1-T)\right)={\frac {1}{(1- T)(1-qT)}}

Tulajdonságok

$Z(X,T)$ végtelen szorzatként ábrázolják

Z(X,T)=\prod \limits _{x}(1-T^{\deg(x)})^{-1},

ahol az összes zárt ponton áthalad, és a mértéke . A fentebb tárgyalt esetben a zárt pontok pontok ekvivalenciaosztályai , ahol két pont ekvivalens, ha konjugált a mező felett . A fok a koordináták által generált mező kiterjedésének mértéke . Ekkor a végtelen szorzat logaritmikus deriváltja egyenlő lesz a generáló függvénnyel $x$ $x$ $\deg x$ $x$ $X=V$ $x=[P]$ $P\in {\overline {V}}$ $F$ $x$ $F$ $P$ $Z(X,T)$

N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots \,

Ha egy elliptikus görbe, akkor ebben az esetben a zéta függvény egyenlő $E$

Z(E/\mathbb {F} _{q},T)={\frac {1-2a_{E}T+qT^{2}}{(1-T)(1-qT)} }

Ha , akkor egy nyílt sugarú körben konvergál . ${\displaystyle (\forall k)N_{k}<CA^{k))$ $Z(T)$ $R=A^{-1}$

Ha , és a megfelelő zéta-függvények, akkor . ${\displaystyle N_{k}=N_{k}^{(1)}+N_{k}^{(2)))$ $Z(T),Z^{(1)}(T),Z^{(2)}(T)$ $Z(T)=Z^{(1)}(T)Z^{(2)}(T)$

Ha , akkor . $N_{k}=\beta _{1}^{k}+...+\beta _{t}^{k}-\alpha _{1}^{k}-...-\ alfa _{s}^{k}$ $Z(T)={\frac {(1-\alpha _{1}T)...(1-\alpha _{s}T)}{(1-\beta _{1}T) ...(1-\béta _{t}T)}}$

Alkalmazás

A Hasse-Weyl L-függvényt a kongruencia zéta függvényében definiáljuk az alábbiak szerint

L(V,s)={\dfrac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{\prod \limits _{p}Z(V/\mathbb {F} _{p}, p^{-s})}}

Riemann sejtése véges mezők feletti görbékre

Ha egy projektív nem szinguláris görbe fölött , akkor ez megmutatható $C$ $F$

Z(C,T)={\frac {P(t)}{(1-T)(1-qT)))\ ,

ahol egy fokszámú polinom , ahol a görbe nemzetsége . Képzeld el $P(t)$ $2g$ $g$ $C$

P(t)=\prod \limits _{i=1}^{2g}(1-\omega _{i}t)\ ,

akkor a véges mezők feletti görbékre vonatkozó Riemann-hipotézis azt állítja

{\displaystyle |\omega _{i}|=q^{1/2))

A lokális zéta függvény esetében ez az állítás egyenértékű azzal, hogy a gyökök valós része . $\zeta (X,s)$ $1/2$

Például egy elliptikus görbére azt az esetet kapjuk, amikor pontosan 2 gyök van, és akkor megmutathatjuk, hogy a gyök abszolút értéke egyenlő . Ez az eset ekvivalens Hasse tételével , amely egy véges mezőben lévő görbe pontjainak becslésére vonatkozik. ${\sqrt {q))$

A zéta függvény általános képletei

A Frobenius-morfizmus Lefschetz -nyomképletéből következik , hogy

Z(X,T)=\prod \limits _{i=0}^{2\dim X}\det(1-T\operátornév {Frob} _{q}|H_{c}^{i }({\overline {X)),{\mathbb {Q} }_{\ell }))^{(-1)^{i+1)).

Itt van egy véges típusú szétválasztható séma véges mező felett , és egy Frobenius geometriai művelet kompaktan támogatott -adic etale kohomológián . Ez azt mutatja, hogy az adott zéta-függvény racionális függvény . $x$ $\mathbb {F} _{q}$ $\operatorname {Frob} _{q}$ $\ell$ $\overline {X}$ $T$

Irodalom

Ireland K., Rosen M. Klasszikus bevezetés a modern számelméletbe. — M .: Mir, 1987. — 428 p.
Koblitz N. Bevezetés az elliptikus görbékbe és a moduláris formákba. — M .: Mir, 1988. — 319 p.
Hartshorne R. Algebrai geometria. — M .: Mir, 1981. — 597 p.