Visszacsatolás linearizálása

A visszacsatolás linearizálása egy módja annak, hogy a rendszert a formában absztrakt módon leírva olyan formára hozzuk, ahol valamilyen külső vezérlési művelet van. Ebben az esetben a nemlineáris rendszer lineárissá válik, és külső vezérlés biztosított a rendszer fennmaradó lineáris részének stabilizálására és szabályozására. $\Delta x=F(x)+G(x)*u$ $\Delta x=v,$ $v$

Ellenőrzési törvényként általában ezt a szabályozási törvényt alkalmazzák, és gyakran vezet a vezérlési célhoz, ha a függvény kiszámítható. $u=G(x)^{-1}*(vF(x)),$ $G(x)^{{-1}}$

Skalárrendszer visszacsatolásos linearizálása

Tekintsük egy bemenettel és egy kimenettel rendelkező rendszer visszacsatolásos linearizálásának esetét. Hasonló eredmények érhetők el több bemenettel és kimenettel rendelkező rendszerek esetében is. Legyen az eredeti rendszer a következő:

{\begin{aligned}{\dot {x}}&=f(x)+g(x)u\qquad &(1)\\y&=h(x)\qquad \qquad \qquad &(2)\ vége{igazított}}

hol van a rendszerállapotvektor,

x \in \mathbb{R}^n

u\in \mathbb {R}

bemenet,

y\in {\mathbb {R}}

kijárat.

Keressen egy transzformációt, amely a rendszert normál formájúvá alakítja: $z=T(x)$

u=a(x)+b(x)v,

most a rendszer input-output formában jelenik meg az új bemenethez és kimenethez viszonyítva . Ahhoz, hogy a transzformált rendszer ekvivalens legyen az eredetivel, a transzformációnak diffeomorfizmusnak kell lennie , azaz nemcsak egyértékűnek, hanem simanak is kell lennie. A gyakorlatban a transzformáció lehet lokális diffeomorfizmus, de ekkor a linearizáció eredményei csak ezen a lokális területen maradnak fenn. $v\in {\mathbb {R}}$ $y$

Hazugság származéka

A visszacsatolásos linearizálás problémája egy olyan transzformált rendszer felépítése, amelynek állapotai a kimenet és annak első deriváltjai. E cél eléréséhez a Lie deriváltot használjuk . Tekintsük a (2) időbeli deriváltját, amely az összetett függvény differenciálási szabályával számítható ki : $y$ $(n-1)$

{\begin{aligned}{\dot {y}}={\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} t}}&={\frac {\operatorname {d } h(x)}{\operátornév {d} x}}{\pont {x}}\\&={\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} x}}f (x)+{\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} x}}g(x)u\end{aligned}}.

Most a következőképpen definiálhatjuk a Lie deriváltját : $h(x)$ $f(x)$

L_{{f}}h(x)={\frac {\operatorname {d}h(x)}{\operatorname {d}x}}f(x),

és hasonlóképpen a Lie deriváltja a következőképpen : $h(x)$ $g(x)$

L_{{g}}h(x)={\frac {\operatorname {d}h(x)}{\operatorname {d}x}}g(x).

Ezen jelölések bevezetésével a következőket határozzuk meg: ${\pont {y}}$

{\pont {y}}=L_{f}ó(x)+L_{g}h(x)u.

Meg kell jegyezni, hogy a Lie deriváltok használata kényelmes, ha több deriváltot veszünk akár ugyanarra a vektortartományra, akár egy másikra vonatkozóan. Például:

L_{f}^{2}h(x)=L_{f}L_{f}h(x)={\frac {\operatorname {d} (L_{f}h(x))}{ \operátornév {d} x}}f(x)

és

L_{{g}}L_{{f}}h(x)={\frac {\operatorname {d}(L_{{f}}h(x))}{\operatorname {d}x}}g( x).

Relatív végzettség

Linearizálható rendszerben az állapotvektor a kimeneti változóból és annak első deriváltjaiból áll. Meg kell érteni, hogyan kerül be a bemenet a rendszerbe. Ehhez bevezetjük a relatív fok fogalmát. Az (1), (2) rendszernek relatív foka van egy ponton , ha: $y$ $(n-1)$ $u$ $r\in {\mathbb {W}}$ $x_{0}$

L_{{g}}L_{{f}}^{{k}}h(x)=0\qquad \forall x

a környéken mindenkinek :

x_{0}

k\leq r-2

L_{{g}}L_{{f}}^{{r-1}}ó(x_{0})\neq 0

Így az [1] következtetés szerint a rendszer relatív fokának tekinthető, hogy a kimenetet hányszor kell időben differenciálni addig a pillanatig, amikor a vezérlés kifejezetten megjelenik a kimeneti jelben . $y$ $y$ $u$ $y$

Ugyanakkor a lineáris stacionárius rendszerek elméletében a relatív fok az átviteli függvény számlálója és nevezője polinomjainak fokszámainak különbsége.

Visszacsatolás linearizálása

Továbbá feltételezzük, hogy a rendszer relatív foka egyenlő . Ebben az esetben a kimeneti időket megkülönböztetve a következőket kapjuk: $n$ $n$

{\begin{aligned}y&=h(x)\\{\dot {y}}&=L_{f}h(x)\\{\ddot {y}}&=L_{f}^ {2}ó(x)\\&\vpontok \\y^{(n-1)}&=L_{f}^{n-1}h(x)\\y^{(n)}&= L_{f}^{n}h(x)+L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)u\end{igazított}},

ahol az edik származékát jelenti . $y^{{(n)}}$ $n$ $y$

Tekintettel arra, hogy a rendszer relatív foka , a for forma Lie deriváltjai mindegyike egyenlő nullával. Ez azt jelenti, hogy a bemenet közvetlenül nem járul hozzá az első származékok egyikéhez sem. $n$ $L_{{g}}L_{{f}}^{{i}}ó(x)$ $i=1,\pontok,n-2$ $u$ $(n-1)$

A rendszert normál formába hozó transzformáció az első deriváltokkal definiálható . Különösen: $T(x)$ $(n-1)$

z=T(x)={\begin{bmatrix}z_{1}(x)\\z_{2}(x)\\\vdots \\z_{n}(x)\end{bmátrix}}={ \begin{bmatrix}y\\{\pont {y}}\\\vdots \\y^{{(n-1)}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h(x)\ \L_{{f}}h(x)\\\vdots \\L_{{f}}^{{n-1}}h(x)\end{bmátrix}}

átalakítja a fázispályákat a kezdeti koordinátarendszerből az újba . Mivel az adott transzformáció egy diffeomorfizmus , az eredeti térben lévő sima pályának egyedi megfelelője lesz a térben , ami szintén sima lesz. Ezek az űrpályák egy új rendszert írnak le: $x$ $z$ $z$ $z$

{\begin{cases}{\dot {z}}_{1}&=L_{{f}}h(x)=z_{2}(x)\\{\pont {z}}_{2} &=L_{{f}}^{{2}}h(x)=z_{3}(x)\\&\vdots \\{\pont {z}}_{n}&=L_{{f }}^{{n}}h(x)+L_{{g}}L_{{f}}^{{n-1}}h(x)u\end{cases}}.

Így a visszacsatoló vezérlési törvény egy lineáris átviteli függvény innentől -ig . $u={\frac {1}{L_{{g}}L_{{f}}^{{n-1}}ó(x)))(-L_{{f}}^{{n}}ó (x)+v)$ $v$ $z_{1}=y$

Az eredményül kapott linearizált rendszer:

{\begin{cases}{\dot {z}}_{1}&=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}&=z_{3}\\&\vdots \\{ \pont {z}}_{n}&=v\end{cases}}

az integrátorok kaszkádja, és a vezérlés a lineáris rendszerek vezérléselméletében használt szabványos módszerekkel érhető el. Különösen a szabályozási törvény, ahol az állapotvektor tartalmazza a kimenetet és annak első deriváltjait, ami lineáris rendszert eredményez $n$ $v$ $v=-Kz\qquad ,$ $z$ $y$ $(n-1)$

{\pont {z}}=Az,

ahol

A={\begin{bmatrix}0&1&0&\lpontok &0\\0&0&1&\lpontok &0\\\vpontok &\vpontok &\vpontok &\dpontok &\vpontok \\0&0&0&\lpontok &1\\-k_{1}&-k_ {2}&-k_{3}&\ldots &-k_{n}\end{bmátrix}}.

Így a megfelelőek kiválasztásával tetszőlegesen elrendezhetjük egy zárt linearizált rendszer pólusait. $k$

Irodalom

Andreev Yu. I. Véges dimenziós lineáris objektumok vezérlése. — M.: Nauka, 1976.
Voronov A. A. Stabilitás, irányíthatóság, megfigyelhetőség. - M.: Nauka, 1979.
Ivanov V. A., Juscsenko A. S. Az automatikus vezérlés diszkrét rendszereinek elmélete. — M.: Nauka, 1983.
Leung L. Rendszerek azonosítása. Elmélet a felhasználó számára. Per. angolról. / Szerk. Tsypkina Ya. Z. - M .: Nauka, FIZMATLIT, 1991.
Roytenberg Ya. N. Automata vezérlés. — M.: Nauka, Fizmatlit, 1992.
Emelyanov S. V., Korovin S. K. Új típusú visszajelzések. Menedzsment bizonytalanság alatt. — M.: Nauka, 1997.
Isidori A. Nonlinear Control Systems, 3. kiadás, Springer Verlag, London, 1995.
HK Khalil HK Nonlinear Systems, 3. kiadás, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 2002.
Vidyasagar M. Nonlinear Systems Analysis, 2. kiadás, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1993.
Friedland B. Advanced Control System Design, fakszimile kiadás, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 1996.

Jegyzetek

↑ Archivált másolat . Letöltve: 2019. július 24. Az eredetiből archiválva : 2019. július 24. (határozatlan)

Lásd még

Nemlineáris szabályozás