A Morse-lemma egy olyan állítás, amely leírja egy sima vagy analitikus valós függvény viselkedését egy nem degenerált kritikus pont szomszédságában . A Morse-elmélet egyik egyszerű, de legfontosabb eredménye ; az elmélet kidolgozójáról nevezték el, és aki ezt az eredményt 1925 -ben létrehozta, Marston Morse amerikai matematikusról .
Legyen az osztály függvénye , ahol , amelynek nem degenerált kritikus pontja egy pont, vagyis ezen a ponton a differenciál eltűnik, és a Hess -féle nullától eltérő. Ekkor a pont valamelyik szomszédságában létezik egy sima lokális koordináták (térkép) rendszere, amelynek origója a pontban van , úgy, hogy minden egyenlőségre [1]
.Ebben az esetben a csíra másodfokú részének aláírása által meghatározott számot az adott függvény kritikus pontjának indexének nevezzük – ez a Morse-index általános fogalmának speciális esete .
A véges multiplicitás kritikus pontjának szomszédságában van egy koordinátarendszer, amelyben egy sima függvénynek fokszámú polinomja van ( vehetjük a függvény Taylor-polinomját az eredeti koordináták egy pontjában ). Nem degenerált kritikus pont esetén a multiplicitás , és Toujron tétele Morse-lemmává változik [1] [2] .
Legyen egy sima függvény, amelynek a koordináták origója a kritikus pontja, nem degenerált a változókban . Ezután a pont szomszédságában sima koordináták vannak, amelyekben
hol van valami sima függvény. Ez az állítás lehetővé teszi, hogy a változók függvénye szingularitásának (kritikus pontjának) vizsgálatát egy kisebb számú változó függvényének szingularitásának vizsgálatára redukáljuk (nevezetesen a Hess-féle koronával egyenlő változók számából). az eredeti függvény) [1] .
Ennek az állításnak a bizonyítása végrehajtható indukcióval n -en Hadamard-lemmája segítségével vagy más módon [1] .
Általában egy diffeomorfizmus közvetlen megszerkesztésével bizonyítják [3] . A fogalmibb bizonyítás Moser trükkjét használja [4] .