Kahleri sokaság

A Kahleri-féle sokaság három egymással kompatibilis szerkezettel: egy komplex szerkezettel , egy Riemann-metrikával és egy szimplektikus formával .

Erich Köhler német matematikusról kapta a nevét .

Definíciók

Szimplektikus sokaságként: A Kähleri-féle sokaság egy szimplektikus sokaság , amelynek integrálható, majdnem összetett szerkezete összhangban van a szimlektikus formával . $(K,\omega )$

Összetett sokaságként: A Kähleri sokaság egy hermitiánus sokaság zárt hermitiánus alakkal. Az ilyen hermitikus formát Kählerinek nevezik.

A definíciók közötti kapcsolat

Legyen egy hermitikus forma , egy szimplektikus forma és egy majdnem összetett szerkezet . A következetesség azt jelenti, hogy a forma : $h$ $\omega$ $J$ $\omega$ $J$

g(u,v)=\omega (u,Jv)

Riemann-féle; vagyis pozitív határozott. A struktúrák közötti kapcsolat az azonossággal fejezhető ki:

h=gi\omega .

Kähler potenciál

Egy összetett sokaságon minden szigorúan többharmonikus függvény Kähler-formát generál $K$ $\rho \in C^{\infty }(K;\mathbb {R} )$

\omega ={\frac {i}{2}}\partial {\bar {\partial }}\rho .

Ebben az esetben a függvényt az alak Kähler-potenciáljának nevezzük . $\rho$ $\omega$

Helyben ennek az ellenkezője igaz. Pontosabban, a Kähleri-sokaság minden pontjához létezik egy szomszédság és egy olyan függvény $p$ $(K,\omega )$ $U\ni p$ $\rho \in C^{\infty }(U,\mathbb {R} )$

\omega \vert _{U}=i\partial {\bar {\partial }}\rho

Ezt hívják az űrlap helyi Kähler-potenciáljának . $\rho$ $\omega$

Példák

Komplex euklideszi tér szabványos hermitiánus formával. $\mathbb{C}^n$
Minden Riemann-metrika egy orientálható felületen meghatároz egy Kähleri-féle sokaságot, mivel a lezárás triviális a kettes valós dimenzióban. $\omega$
Komplex projektív tér a Fubini-tanulmány metrikával . $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$
Indukált metrika egy Kähleri-féle összetett részsokatóriumon .
- Különösen bármely Stein-változat és bármely projektív algebrai változat .
- A Kodaira beágyazási tétel szerint egy Kähleri-féle sokaság, amely egy vonalszálas pozitív köteget enged be, egy projektív térbe van ágyazva.
K3 felületek
A Kähler elosztók fontos alosztálya a Calabi-Yau elosztók .

Lásd még

Szinte összetett sokaság

Irodalom

P. Deligne , Ph. Griffiths, J. Morgan, D. Sullivan. A Kähler-sokaságok valódi homotópia elmélete // Invent. Math. - 1975. - T. 29 . – S. 245–274 . - doi : 10.1007/BF01389853 .
E. Kahler . Über eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. - 1933. - T. 9 . – S. 173–186 . - doi : 10.1007/BF02940642 .
R. Hartshorne. Algebrai geometria. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1977. - ISBN 978-0-387-90244-9 .
Alan Huckleberry és Tilman Wurzbacher, szerk. Infinite Dimensional Kähler Manifolds (2001), Birkhauser Verlag, Basel ISBN 3-7643-6602-8 .
A. Moroianu. Előadások a Kahler geometriáról. - Cambridge University Press , 2007. - V. 69. - (London Mathematical Society Student Texts). — ISBN 978-0-521-68897-0 .
A. Weil . Introduction à l'étude des variétés kählériennes. – 1958.