Cauchy-kritérium

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt hozzászólók, és jelentősen eltérhet a 2016. január 29-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

A Cauchy -kritérium egy határérték meglétének kritériuma . A Cauchy-kritérium feltétele hasonló a határérték meghatározásához, de a definícióval ellentétben a kritérium a feltételében sehol nem használ konkrét határértéket. Ez lehetővé teszi egy határ létezésének bizonyítását anélkül, hogy bármit is tudna annak konkrét értékéről. A Cauchy-kritériumnak számos különböző megfogalmazása létezik a különböző elemzési objektumokra: sorozatok, sorozatok, integrálok, függvények stb.

Cauchy-kritérium egy numerikus sorozat határértékének meglétére

Egy numerikus sorozat legegyszerűbb esetére a Cauchy-kritérium a következőképpen van megfogalmazva.

Legyen egy numerikus sorozat (sor elemekkel -ból ). $a_n$ $\mathbb {R}$

$a_n$ akkor és csak akkor van korlátja, ha: $\mathbb {R}$

\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall m,n>N\colon |a_{m}-a_{n}|<\varepsilon

[egy]

A Cauchy-kritériumban a sorozatra szabott feltételt Cauchy -feltételnek nevezzük . Első pillantásra a Cauchy-kritérium nem sokkal egyszerűbb, mint a határérték meghatározása, de ez egyáltalán nem így van. A határérték definíciója a határérték már ismert értékére van megfogalmazva. Ahhoz, hogy egy definíción keresztül bizonyítsuk egy határ létezését, előre tudni kell, hogy ez a határ mivel lesz egyenlő. A feltétel cáfolata a határérték meghatározásában csak azt jelenti, hogy ez az általunk vizsgált érték nem határérték, de egyáltalán nem mond semmit arról, hogy egy másik érték határérték-e vagy sem. A határérték nem létezésének bizonyításához ellenőrizni kell a határértékek összes lehetséges értékét. A Cauchy-kritérium viszont hasonló feltétellel rendelkezik, de a sorozat határértékének használata nélkül, ami lehetővé teszi, hogy a határérték lehetséges értékére vonatkozó információk ismerete nélkül is használható legyen.

Az a követelmény, hogy a határ valós szám legyen, meglehetősen jelentős. A Cauchy-kritérium nem visz át a racionális számokra: a racionális számok sorozata konvergálhat egy irracionális számhoz. Így kielégíti a Cauchy-feltételt, de nincs határa a racionális számokban. Ellenpélda: Kiterjesztett számsor . A végtelenbe hajló sorozat nem felel meg a Cauchy-feltételnek. De a Cauchy-kritérium továbbra is általánosítható bizonyos halmazokra. Például a megfogalmazásban mindenhol helyettesítheti a -val , vagy vegye figyelembe a komplex számokat a valós számok helyett. A Cauchy-kritérium más halmazokra való általánosítását az alábbiakban tárgyaljuk. $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{n}$

Bizonyíték

Szükség.

Hagyja, hogy a sorozat konvergáljon -hoz . Írjuk le a határ definícióját. $a_{n}\in \mathbb {R}$ $a\in {\mathbb {R}}$

\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall n>N\colon |a_{n}-a|<{\frac {\varepsilon }{2))

Javítjuk és átvesszük a megfelelőt . Vegyük önkényes . Akkor: $\varepsilon$ $N$ $m,n>N$

|a_{n}-a_{m}|\leq |a_{n}-a|+|a-a_{m}|<{\frac {\varepszilon }{2))+{\frac { \varepsilon }{2}}<\varepsilon

Megfelelőség.

A bizonyítás 3 részre osztható. Az 1. részben a sorozat korlátosságát bizonyítjuk. A 2.-ban a Bolzano-Weierstrass tételt használva egy konvergens részsorozatot vonunk ki belőle. A 3. részben bebizonyítjuk, hogy ennek a részsorozatnak a határa a teljes sorozat határa.

1. Korlátozott sorrend

Írjuk fel a Cauchy-feltételt.

\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall n,m>N\colon |a_{n}-a_{m}|<\varepsilon

Javítjuk és átvesszük a megfelelőt . Fix . Ekkor kiderül, hogy a sorozat tagjából kiindulva a teljes sorozat a - szomszédságában van , ami azt jelenti, hogy korlátos. $\varepsilon$ $N$ $m>N$ $N+1$ $\varepsilon$ $a_m$

2. Bolzano-Weierstrass tétel

A Bolzano-Weierstrass-tétel szerint egy korlátos számsorozatnak van egy konvergens részsorozata . A határát jelöljük . $a_n$ $a_{n_{k))$ $a$

3. Egy részsorozat határa az egész határa

Írjuk fel a Cauchy-feltételt.

\forall \varepsilon >0\ \exists N_{1}\in \mathbb {N} \ \forall n,m>N_{1}\colon |a_{n}-a_{m}|<{\ frac {\varepsilon }{2}}

Írjuk fel egy részsorozat határának definícióját.

\forall \varepsilon >0\ \exists N_{2}\in \mathbb {N} \ \forall k>N_{2}\colon |a_{n_{k}}-a|<{\frac { \varepsilon }{2}}

Javítjuk . Vegyük a megfelelő és . Vegyünk egy ilyet . Akkor $\varepsilon$ $N_1$ $N_2$ ${\displaystyle n>N_{1))$ ${\displaystyle k>N_{2))$ ${\displaystyle n_{k}>N_{1))$

|a_{n}-a|\leq |a_{n}-a_{n_{k}}|+|a_{n_{k}}-a|<{\frac {\varepszilon }{2} }+{\frac {\varepszilon }{2}}<\varepszilon

A Cauchy-kritérium megfogalmazásai különféle elemzési objektumokhoz

Az alábbiakban mindenhol a , vagy a helyettesíthető . $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb{C}^n$

Cauchy-kritérium egy függvény határértékének meglétére

Legyen a függvény definiálva , legyen a bázis in . $f\colon X\ to \mathbb {R}$ ${\mathfrak {B}}$ $x$

Egy függvény alaphatára akkor és csak akkor létezik $f$ ${\mathfrak {B}}$ $\mathbb {R}$

\forall \varepsilon >0\ \exists b\in {\mathfrak {B}}\forall x_{1},x_{2}\in b\colon |f(x_{1})-f(x_ {2})|<\varepszilon

[2]

Valós számokra vonatkozó összes Cauchy-kritérium ilyen vagy olyan módon a függvény Cauchy-kritériumának speciális esete.

Cauchy-kritérium egy függvény Riemann-integrálásához

Legyen a függvény definiálva . $f\colon [a;b]\to \mathbb {R}$

Egy függvény akkor és csak akkor integrálható Riemann, ha: $f$ $[a;b]$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall (\tau ',\xi '),(\tau '',\xi '')\in T'[a;b], d(\tau ')<\delta ,d(\tau '')<\delta :|\sigma (f,\tau ',\xi ')-\sigma (f,\tau '',\xi '' )|<\varepszilon

[3]

A kritérium szinte változatlanul több integrálra is átkerül (az intervallumot Jordan-mérhető halmaz váltja fel).

Cauchy-kritérium egy számsor konvergenciájára

Legyen egy számsorozat (egy sorozat elemeiből ). $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\mathbb {R}$

A sorozat akkor és csak akkor konvergál , ha: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\mathbb {R}$

\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall m>N\ \forall p\in \mathbb {N} \colon \left|\sum _{i=m} ^{m+p}a_{i}\right|<\varepszilon

[négy]

A Cauchy-kritérium egy nem megfelelő integrál konvergenciájára

Legyen egy függvény definiálva , és egy ponton első vagy második típusú szingularitása van. $f\colon [a;b)\to \mathbb {R}$ $b$

A nem megfelelő integrál akkor és csak akkor konvergál, ha: $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta \in [a;b)\forall x_{1},x_{2}\in (\delta ;b),x_{1}<x_{2} \colon \left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)\,dx\right|<\varepszilon

[5]

A kritérium arra az esetre is megfogalmazható, ha a szingularitás pontban van . Ekkor a nem megfelelő integrál akkor és csak akkor konvergál, ha: $a$ $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta \in (a;b]\forall x_{1},x_{2}\in (a;\delta ),x_{1}<x_{2} \colon \left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)\,dx\right|<\varepszilon

Cauchy-kritérium egy funkcionális sorozat egyenletes konvergenciájára

Legyen egy funkcionális sorozat, . $f_{n}(x)$ $f_{n}\colon X\to \mathbb {R}$

Egy sorozat akkor és csak akkor konvergál egyenletesen valamilyen függvényben , ha: $f_{n}(x)$ $x$ $f\colon X\to \mathbb {R}$

\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall m,n>N\ \forall x\in X\colon \left|f_{m}(x)-f_{ n}(x)\jobbra|<\varepszilon

[6]

A Cauchy-kritérium egy függvénycsalád egyenletes konvergenciájára

Legyen a függvény definiálva , legyen a bázis in . $f\colon X\times Y\to \mathbb {R}$ ${\mathfrak {B}}$ $x$

Egy függvény akkor és csak akkor konvergál egyenletesen egy függvényhez az alaphoz képest $f(x,y)$ $Y$ $f\colon Y\to \mathbb {R}$ ${\mathfrak {B}}$

\forall \varepsilon >0\ \exists b\in {\mathfrak {B}}\forall x_{1},x_{2}\in b\ \forall y\in Y\colon |f(x_{ 1},y)-f(x_{2},y)|<\varepszilon

[7]

Cauchy-kritérium egy funkcionális sorozat egyenletes konvergenciájára

Legyen egy funkcionális sorozat, . $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$ $f_{n}\colon X\to \mathbb {R}$

Egy sorozat akkor és csak akkor konvergál egyenletesen valamilyen függvényben , ha: $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$ $x$ $f\colon X\to \mathbb {R}$

\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall m>N\ \forall p\in \mathbb {N} \ \forall x\in X\colon \left|\ összeg _{i=m}^{m+p}f_{i}(x)\jobb|<\varepszilon

[6]

A Cauchy-kritérium egy nem megfelelő integrálnak a paraméterrel való egyenletes konvergenciájára

Legyen egy függvény definiálva , és egy ponton első vagy második típusú szingularitása van. $f\colon [a;b)\times Y\to \mathbb {R}$ $b$

Egy paraméterrel rendelkező nem megfelelő integrál akkor és csak akkor konvergál egyenletesen, ha: $\int \limits _{a}^{b}f(x,y)\,dx$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta \in [a;b)\forall x_{1},x_{2}\in (\delta ;b),x_{1}<x_{2} \ \forall y\in Y\colon \left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(x,y)\,dx\right|<\varepszilon

[nyolc]

Legyen egy függvény definiálva , és egy ponton első vagy második típusú szingularitása van. $f\colon (a;b]\times Y\to \mathbb {R}$ $a$

Egy paraméterrel rendelkező nem megfelelő integrál akkor és csak akkor konvergál egyenletesen, ha: $\int \limits _{a}^{b}f(x,y)\,dx$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta \in (a;b]\ \forall x_{1},x_{2}\in (a;\delta ),x_{1}<x_{2 }\ \forall y\in Y\colon \left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(x,y)\,dx\right|<\varepszilon

Cauchy-kritérium és a valós számok Cantor-féle definíciója

Amint azt korábban említettük, a Cauchy-kritérium nem vonatkozik a racionális számokra . Még több is elmondható: a Cauchy-kritérium teljesülése éppen az a tulajdonság, amely megkülönbözteti a valós számokat a racionálisaktól. Ezt úgy kell érteni, hogy ha új elemeket adunk a racionális számokhoz oly módon, hogy a Cauchy-kritérium teljesüljön, valós számok halmazát állítjuk elő. A valós számok Cantor-féle meghatározása ezen a tényen alapul .

A fentiekből következik, hogy a Cauchy-kritérium nem érvényesül egyetlen olyan halmazra sem, amelynél ilyen feltétel figyelembe vehető. Legyen valamilyen számkészlet. Ennek a halmaznak a Cauchy-feltételt kielégítő elemsorozatát fundamentálisnak (vagy Cauchy-sorozatnak) nevezzük. Azaz egy alapsorozat olyan sorozat, amelyre a következő feltétel teljesül: $x$ $a_n$

\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall m,n>N\colon |a_{m}-a_{n}|<\varepsilon

Az elemek bármely konvergáló sorozata alapvető. De ugyanakkor egyetlen alapvető elemsorozat sem konvergál -ban . Ilyen helyzetre példa a halmaz . Tekintsük a következő racionális számsorozatot: $x$ $x$ $x$ $x$ $\mathbb {Q}$

0.1;0.101;0.101001;0.1010010001;\ldots

Nyilvánvaló, hogy egy irracionális számhoz konvergál , ami azt jelenti, hogy alapvető. De ugyanakkor a racionális számok halmazában ennek a sorozatnak nincs határa. Így a Cauchy-kritérium kimondja, hogy valós számokban bármely alapsorozat konvergál. $0.101001000100001\ldots$

Minden valós szám a racionális számok valamilyen alapvető sorozatának határa. Ez a tulajdonság lehetővé teszi a valós számok Cantor-féle definíciójának megalkotását. Egyszerűen lehetetlen valós számot rendelni minden nem konvergenshez az alapsorozatban: különböző sorozatok konvergálhatnak ugyanahhoz a számhoz. Nyilvánvaló azonban, hogy az ilyen sorozatok különbsége egyenlő lesz . Azonosítjuk a racionális számok alapvető sorozatait, amelyek különbsége nullára hajlik. Az azonosított sorozatok mindegyik halmaza pontosan egy valós számnak felel meg. Így lehetséges a valós számokat pontosan ilyen halmazokként definiálni. Az összeg, a különbség, a valós számok szorzása műveletei megfelelnek a sorozatok összegének, különbségének, szorzásának műveleteinek. $\mathbb {Q}$ $0$

Cauchy-kritérium a metrikus térben

Az alapsorozat fogalma bármely metrikus térre általánosítható . Legyen metrikus tér. Egy elemsorozatot akkor nevezünk fundamentálisnak, ha a következő feltétel teljesül: $(X,\rho)$ $a_n$ $x$

\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall m,n>N\colon \rho (a_{m},a_{n})<\varepsilon

Ez általánosítja egy számhalmaz alapsorozatának fogalmát. A fundamentálisság a tér metrikájától függ: az egyik metrikában lévő alapvető sorozat nem biztos, hogy alapvető a másikban. Egy számkészlethez a standardtól eltérő metrikát is megadhat, és az alapsorozat definíciója el fog térni az előző szakasz definíciójától. Ezért, ha egy fundamentális sorozatról beszélünk, rögzíteni kell, hogy melyik metrikában feltételezzük az alapvető természetet.

A metrikus tér minden konvergens sorozata alapvető, de nem minden alapsorozat konvergál egy elemhez a teréből. Azt a teret, amelyben minden alapsorozat konvergál, teljesnek nevezzük . Így ez egy teljes metrikus tér, de nem. $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$

Így a Cauchy-kritérium bármely teljes metrikus térre teljesül. Meg kell érteni, hogy megvalósítása egy teljes metrikus térben triviálisan következik a definícióból, egyszerűen azért, mert a tér akkor teljes, amikor a Cauchy-kritérium teljesül benne. A valós számok halmazán való teljesülése nem triviálisan következik a definícióból: az a tény, hogy a valós számok halmaza teljes metrikus tér, bizonyítást igényel. A valós számokra vonatkozó Cauchy-kritérium bizonyítása tehát teljességük bizonyítéka, teljesülése pedig az általánosabb tetszőleges teljes metrikus tér esetében egyáltalán nem igényel bizonyítást.

A valós számok Cantor-féle konstrukciója általánosságban bármely metrikus térre alkalmazható. Hasonlóképpen, ha azonosítjuk azokat az alapvető szekvenciákat, amelyek különbsége nullára hajlik, egy szuperteret kapunk az eredeti tér felett, amely ezután teljes lesz. Az ilyen műveletet feltöltésnek nevezzük . A valós számok nem mások, mint a racionális számok befejezése. A befejezési művelet nem teszi teljessé a teret a sorozatok minden lehetséges korlátjával, még a részleges határérték értelmében sem: a természetes számok sorozatának például nincs részhatára -ben . $\mathbb {R}$

Meg kell érteni, hogy a Cauchy-kritériumnak csak metrikus terek esetén van értelme. Például: a természetes számok sorozata hajlamos ben . Ez azonban nem alapvető. Ez azért van így, mert ez nem metrikus tér, ami azt jelenti, hogy az alapvető sorozat fogalma egyáltalán nem definiálható hozzá. Az alapvetőség a mérőszámtól függ, de nem a mérőszámtól. A természetes számok sorozata nem alapvető a metrikában , de nincs értelme valami mélyrehatót mondani a metrikában . Ennek ellenére egy metrika megadható egy topológiai térben. Ennek korlátozása természetesen nem esik egybe a standard metrikával , ugyanakkor egy ilyen mérőszámban a természetes számok sorozata már alapvető lesz. Ebben az esetben a numerikus sorozatoknál szokásos fundamentális definícióban a különbség modulusát a metrika képlete helyettesíti, amely -n van definiálva . $+\infty$ ${\overline {R))$ ${\overline {R))$ ${\overline {R))$ $\mathbb {R}$ ${\overline {R))$ ${\overline {R))$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ ${\overline {R))$

Cauchy-kritérium egy függvény határértékének létezésére, egy teljes metrikus térben lévő értékekkel

A legáltalánosabb Cauchy-kritérium olyan függvényekre fogalmazható meg, amelyek értékei egy teljes metrikus térben vannak. Minden más kritérium ennek speciális esete.

Legyen egy függvény definiálva , legyen bázis -ben , legyen teljes metrikus tér. $f\kettőspont X\Y-ra$ ${\mathfrak {B}}$ $x$ $Y$

Egy függvény alaphatára akkor és csak akkor létezik $f$ ${\mathfrak {B}}$ $Y$

\forall \varepsilon >0\ \exists b\in {\mathfrak {B}}\forall x_{1},x_{2}\in b\colon \rho (f(x_{1}),f (x_{2}))<\varepszilon

Ez a kritérium nem triviálisan következik a teljesség definíciójából. Egy tetszőleges metrikus tér esetén egy függvénynek, amely teljesíti ezt a feltételt, nem kell egy elemhez konvergálnia, de bizonyos befejeződéseinél konvergál egy elemhez.

Bizonyíték

Legyen megadva egy metrikus tér $(Y,\rho )$

Szükség.

A szükségszerűség még a metrikus tér teljességét sem követeli meg . Hagyja, hogy a függvény konvergáljon . Írjuk le a határ definícióját. $Y$ $f(x)\colon X\to Y$ $a\in Y$

\forall \varepsilon >0\ \exists b\in {\mathfrak {B))\ \forall x\in B\colon \rho (f(x),a)<{\frac {\varepsilon }{ 2}}

Javítjuk és átvesszük a megfelelőt . Vegyük önkényes . Akkor: $\varepsilon$ $b$ $x_{1},x_{2}\in b$

\rho (f(x_{1}),f(x_{2}))\leq \rho (f(x_{1}),a)+\rho (a,f(x_{2}) )<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepszilon }{2}}<\varepszilon

Megfelelőség.

Ezúttal elengedhetetlen a tér teltsége. A bizonyítás ugyanaz, mint a részekre osztott numerikus sorozat esetén. Az első rész egy konvergens sorozatot tartalmaz, a második rész pedig azt bizonyítja, hogy ennek a sorozatnak a határa a teljes függvény határa a bázishoz képest. $Y$

1. Sorozat kiválasztása

A bizonyítás 1. része a megszámlálható választás axiómáján alapul ). Írjuk fel a Cauchy-feltételt.

\forall \varepsilon >0\ \exists b\in {\mathfrak {B}}\ \forall x_{1},x_{2}\in b\colon \rho (f(x_{1}), f(x_{2}))<\varepszilon

Vegyünk egy tetszőlegeset , és javítsuk ki. Vegyük a megfelelőt . Jelöljük -vel . Válasszunk egy tetszőleges pontot . Így mindegyikhez kiválasztottunk egy pontot . $n\in {\mathbb {N}}$ $b_{n}\in {\mathfrak {B}}$ $\epsilon ={\frac {1}{n))$ ${\displaystyle b_{n}'\subset b_{1}\cap \ldots \cup b_{n))$ $b_{n}'$ $a_n$ $n$ $a_n$

Tekintsük sorozatnak. Az elemből kiindulva a sorozat tagjai ben rejlenek , azaz , és innen . Így a sorozat alapvető, ami azt jelenti, hogy konvergál. $a_n$ $n$ $b_n$ ${\displaystyle \forall m>=n\colon a_{m}\in b_{n))$ $\forall k,m>=n\colon \rho (f(a_{k}),f(a_{m}))<{\frac {1}{n))$ $f(a_{n})$

2. Egy sorozat határértéke a teljes függvény határa

Sorozat – konvergál valamilyen elemhez . Megírjuk a határ definícióját, figyelembe véve : $f(a_{n})$ $c\in Y$ $\varepsilon ={\frac {1}{2n))$

\forall n\in \mathbb {N} \ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall m>N\colon \rho (f(a_{m}),c)<{\frac { 1}{2n}}

Javítjuk . Vegyünk rá a megfelelő és tetszőleges olyat, hogy . Akkor: $n\in \mathbb {N}$ $N$ $m>N$ $m>2n$

\rho (f(a_{m}),c)<{\frac {1}{n))

Úgy vesszük , ahogy az 1. részben definiáltuk. Aztán bármelyikhez $b_{m}$ ${\displaystyle x\in b_{m))$

\rho (f(x),f(a_{m}))<{\frac {1}{m))<{\frac {1}{2n))

Végül megkapjuk:

\rho (f(x),c)\leq \rho (f(x),f(a_{m}))+\rho (f(a_{m}),c)<{\frac { 1}{2n}}+{\frac {1}{2n}}={\frac {1}{n}}

Valójában a Cauchy-kritérium numerikus sorozatokra való bizonyítása is a megszámlálható választás axiómáját használja, csak implicit módon. Bizonyítása a Bolzano-Weierstrass-tételt használja, amely a megszámlálható választás axiómájától, pontosabban a részhalmazok megszámlálható választásának axiómájától függ . $\mathbb {R}$

Jegyzetek

↑ Arkhipov, 1999 , p. 56.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 66.
↑ Kudrjavcev, 2003 , p. 539.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 334.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 231.
↑ 1 2 Arkhipov, 1999 , p. 374.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 416.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 419.

Irodalom

Arkhipov G.I. , Sadovnichiy V.A. , Chubarikov V.N. Előadások a matematikai elemzésről / Szerk. V. A. Sadovnichy. - 1. kiadás - M . : Felsőiskola , 1999. - 695 p. - ISBN 5-06-003596-4 .
Kudrjavcev L. D. Matematikai elemzés tanfolyam. 3 kötetben. T. 1. Egy változó függvényeinek differenciál- és integrálszámítása - M. : Drofa, 2003. - 704 p.