Osgood görbe

A matematikában az Osgood-görbe pozitív területű , nem metsző görbe (Jordan- görbe vagy ív) [2] . Formálisabban ezek az euklideszi sík görbéi pozitív kétdimenziós Lebesgue-mértékkel .

Történetek

Az ilyen görbék első példáit William Fogh Osgood [3] és Lebesgue [4] találta . Mindkét példában a görbék bizonyos részein pozitív, más részein pedig nulla terület található. Ezt a hiányosságot Knopp [5] korrigálta, és Vaclav Sierpinski korábbi konstrukciói alapján minden pontja közelében pozitív területű görbét talált . Knopp példájának további előnye, hogy megépítve a terület a domború hajótest területének tetszőleges töredéke lehet [6] .

Fraktál konstrukció

Bár a legtöbb térkitöltő görbe nem Osgood-görbe (pozitív területük van, de gyakran végtelen sokszor metszik egymást, ami sérti a Jordan-görbe definícióját), lehetőség van a térkitöltő görbék rekurzív konstrukciójának módosítására, ill. fraktálgörbék , amelyek Osgood-görbét kapnak [7] .

Kezdetben Osgood 1903-as publikációjában egy négyzetet kitöltő görbének tekintett [8] . Ez a szaggatott vonal kapta a nevét [1] . Később ezt a nevet más alakokra általánosították. Például a Knopp-konstrukció a háromszögek rekurzív felosztását használja kisebb háromszögpárokra, amelyeknek közös csúcsuk van az ékek eltávolításával. Ha az építmény minden szintjén az eltávolítandó ékek a háromszögek területének változatlan (tört) részét alkotják, akkor a Koch-görbéhez hasonló Cesaro-fraktál lesz az eredmény , de ha eltávolítjuk az ékeket, amelyek területe csökken. gyorsabban megkapjuk az Osgood-görbét [6] .

Denjoy-Ries építés

Az Osgood-görbe megszerkesztésének másik módja a Smith-Volterra-Cantor halmaz kétdimenziós változatának használata , amely egy teljesen szétválasztott ponthalmaz nullától eltérő területtel, amelyre a Denjoy-Ries tétel vonatkozik. alkalmazott , amely szerint a sík bármely korlátos és teljesen szétválasztott részhalmaza egy Jordan-görbe részhalmaza [9] .

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ 1 2 Slyusar, V. Fraktál antennák. Egy alapvetően új típusú "törött" antenna. 2. rész . Elektronika: tudomány, technológia, üzlet. - 2007. - No. 6. S. 86 - 87. (2007). Letöltve: 2020. április 27. Az eredetiből archiválva : 2018. április 3..
  2. ↑ Rado (1948) .
  3. ↑ Osgood, 1903 .
  4. ↑ Lebesgue, 1903 .
  5. ↑ Knopp, 1917 .
  6. ↑ Knopp 12 , 1917 ; Sagan, 1994 , 8.3. szakasz, Osgood Sierpinski és Knopp görbék, pp. 136–140 Archiválva : 2016. május 29. a Wayback Machine -nél .
  7. ↑ Knopp, 1917 ; Lance, Thomas, 1991 ; Sagan 1993 ).
  8. ↑ William F. Osgood . Pozitív terület Jordan-görbéje // Az Amerikai Matematikai Társaság tranzakciói . - 1903. - T. 4 . – S. 107–112 . — ISSN 0002-9947 . - doi : 10.1090/S0002-9947-1903-1500628-5 . — .
  9. ↑ Balcerzak, Kharazishvili, 1999 .

Irodalom

Linkek