Cokernel

A kategóriaelméletben a kokernel a kernel kettős fogalma – a kernel az előkép részobjektuma, a kokernel pedig az érkezési tartomány hányadosa. Intuitív módon, amikor egy egyenletre keresünk megoldást, a cokernel meghatározza azoknak a megszorításoknak a számát, amelyeket y -nak teljesítenie kell ahhoz, hogy az adott egyenletnek megoldása legyen. $f(x)=y$

Definíció

Legyen C nulla morfizmusú kategória . Ekkor az f : X → Y morfizmus koekvalizátora és a 0 : X → Y zéró morfizmus koekvalizátora . Pontosabban, a következő általános tulajdonságok érvényesek :

Egy f : X → Y kokernel egy q : Y → Q morfizmus , amelyre:

q o f a nulla morfizmus X -től Q -ig ;

Minden olyan morfizmushoz , ahol a - nulla, létezik egy egyedi morfizmus , amelyre a következő diagram kommutatív: $q':Y\-Q'$ $q'\circ f$ $u:Q\to Q'$

A többi univerzális konstrukcióhoz hasonlóan a kokernel sem mindig létezik, de ha létezik, akkor az izomorfizmusig definiálva van.

Mint minden koequalizer, a kokernel mindig epimorfizmus . Megfordítva, egy epimorfizmust normálisnak (néha konnormálisnak) nevezünk, ha valamilyen morfizmus kokszmagja. Egy kategóriát akkor nevezünk konnormálisnak , ha minden epimorfizmusa normális.

Különleges alkalmak

Egy Abel-féle kategóriában egy morfizmus képe és képzete a következőképpen van megadva

{\mathrm {im}}(f)=\ker({\mathrm {coker}}f)

{\mathrm {coim}}(f)={\mathrm {coker}}(\ker f)

Konkrétan minden epimorfizmus a saját kokernelje.

Irodalom

S. McLane Kategóriák egy dolgozó matematikus számára, - M . : FIZMATLIT, 2004. - 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Paolo Aluffi algebra: 0. fejezet (Matematika diplomás tanulmányai). — 2009, ISBN 0-8218-4781-3 .