Társkiegyenlítő

A társkiegyenlítő egy tényező fogalmának kategóriaelméleti általánosítása az ekvivalenciareláció tekintetében . Ez a fogalom kettős az equalizer fogalmával , innen ered a név.

Definíció

A koequalizer két objektumból, X és Y , valamint két párhuzamos f , g : X → Y morfizmusból álló diagram kodefiníciója .

Közelebbről, a koekvalizer egy Q objektum egy olyan q : Y → Q morfizmussal együtt , hogy q ∘ f = q ∘ g . Ezen túlmenően egy ( Q , q ) pár univerzális tulajdonsággal rendelkezik : minden más pár ( Q ′, q ′) azonos tulajdonsággal rendelkezik egy egyedi u morfizmus : Q → Q ′ , amely a következő diagramot kommutatívra zárja. :

Mint minden univerzális konstrukció, a koequalizer is, ha létezik, az izomorfizmusig van meghatározva. Kimutatható, hogy a q koequalizer bármely kategóriában epimorfizmus .

Példák

A halmazok kategóriájában két f , g : X → Y függvény együttegyenlítője a leggyengébb ekvivalenciareláció szerinti Y tényező , úgy, hogy bármelyik esetén igaz . $\sim$ $x\X-ben$ $f(x)\sim g(x)$

A csoportok kategóriájában nagyon hasonló a helyzet: ha f , g : X → Y csoporthomomorfizmusok, akkor koequalizerjük az Y tényező a halmaz normál zárásával : ${\displaystyle S=\{f(x)g(x)^{-1}\ |\ x\in X\))$ .

Az Abeli- csoportok esetében a koequalizer különösen egyszerű. Ez egyszerűen az Y / im( f − g ) faktorcsoport ( az f − g morfizmus kokszmagja ).

A topológiai terek kategóriájában a kör a standard 0-dimenziós szimplex két beágyazódásának koekvalizerének tekinthető a szabványos 1-dimenziós szimplexbe. $S^{1}$

A társkiegyenlítők meglehetősen nagyok lehetnek: pontosan két funktor van az 1. kategóriától egy objektummal és egy morfizmussal, a 2. kategóriáig két objektummal és pontosan egy nem-identitás morfizmussal. Ezeknek a függvényeknek a koequalizerje a természetes számok összeadásos monoidja , amelyet egy elemű kategóriának tekintünk. Ez azt mutatja, hogy bár minden társkiegyenlítő epimorf, nem feltétlenül szürjektív .

Irodalom

McLane S. 3. fejezet. Univerzális konstrukciók és határértékek // Categories for the working mathematician = Categories for the working mathematician / Per. angolról. szerk. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .