Möbius konfiguráció

A Möbius-konfiguráció vagy a Möbius- tetraéder egy konfiguráció az euklideszi térben vagy projektív térben, amely két egymásra írt tetraéderből áll  - az egyik tetraéder mindegyik csúcsa egy másik tetraéder lapján áthaladó síkon fekszik, és fordítva. Így a nyolc pontból és nyolc síkból álló rendszerben minden pont négy síkon fekszik (három sík határozza meg a tetraéder csúcsát, a negyedik sík pedig a második tetraéder felületén áthaladó sík, amelyen a csúcs található). , és minden sík négy pontot tartalmaz (egy tetraéder lapjának három csúcsa és egy másik tetraéder csúcsa ugyanazon a síkon).

Möbius tétel

A konfiguráció nevét August Ferdinand Möbiusról kapta , aki 1828-ban bebizonyította, hogy ha két tetraédernek az a tulajdonsága, hogy hét csúcsa a másik tetraéder lapjainak megfelelő síkjain fekszik, akkor a nyolcadik csúcs is a megfelelő síkján fekszik. arc, amely a Möbius konfigurációt alkotja. Ez a baleseti tétel akkor és csak akkor igaz egy általánosabb háromdimenziós projektív térben, ha Papp tétele ( Reidemeister , Schoenhard ) érvényesül ebben a térben, és érvényes egy testre épített háromdimenziós térben is , akkor és csak akkor, ha a kommutatív törvény teljesül, és így a csoportnak mezőnek kell lennie (Al-Dhahir). A projektív kettősség miatt a Möbius-eredmény egyenértékű azzal, hogy ha a lapokon áthaladó két tetraéder nyolc síkjából hét tartalmazza a másik tetraéder megfelelő csúcsait, akkor a nyolcadik lap síkja tartalmazza a másik csúcsot is.

Épület

Coxeter ( 1950 ) egy konfiguráció egyszerű felépítését írta le. Induljunk ki egy tetszőleges p pontból az euklideszi térben. Legyen A , B , C és D négy p -  n átmenő sík , amelyek közül három nem metszi egymást ugyanabban az egyenesben. Hat q , r , s , t , u és v pontot e síkok páronkénti metszéspontjából kialakított hat egyenesre helyezünk úgy, hogy ne legyen négy pont ugyanazon a síkon. Bármely A , B , C és D síkon a hét p , q , r , s , t , u és v pont közül négy ezen a síkon, három pedig azon kívül található. Az A' , B' , C' és D' síkokat az A , B , C és D síkon kívül eső pontok hármasain keresztül építjük meg. Ekkor a Möbius-tétel kettős alakja szerint ez a négy új sík egy w pontban metszi egymást . Nyolc p , q , r , s , t , u , v és w pont és nyolc A , B , C , D , A' , B' , C' és D' sík alkotja a Möbius konfigurációt.

Hasonló konstrukciók

Gilbert és Cohn-Vossen ( Hilbert, Cohn-Vossen 1952 ) azt állítják (hivatkozás nélkül), hogy öt olyan konfiguráció létezik, amelyek nyolc ponttal és nyolc síkkal rendelkeznek, mindegyik síkon négy pont és négy sík halad át minden ponton, ami három- dimenziós euklideszi tér – az ilyen konfigurációkat jelöljük . Ezekről a konfigurációkról Steinitz cikkéből szerezhetünk információkat ( Steinitz 1910 ). A cikk Muth ( Muth 1892 ), Bauer ( Bauer 1897 ) és Martinetti ( Martinetti 1897 ) eredményeire támaszkodva valójában azt állítja, hogy öt olyan konfiguráció létezik, amelyek tulajdonságai legfeljebb két síknak tartalmaznak két közös pontot, és a kettős tulajdonság, hogy legfeljebb két pont tartozik két síkhoz. (Ez a feltétel azt jelenti, hogy bármely három pont nem esik ugyanazon az egyenesen, és a kettős három sík nem metszi egymást egy egyenesben.) Azonban van még tíz olyan konfiguráció, amelynél ez a feltétel nem teljesül, és mind a tizenöt konfiguráció megvalósítható háromdimenziós térben. Érdekesek azok a konfigurációk, amelyekben két tetraéder vesz részt, mindegyik egymásba írva és körülírva, és pontosan ezek a konfigurációk kielégítik a fent leírt tulajdonságot. Így öt konfiguráció létezik a tetraéderekkel, és ezek megfelelnek a szimmetrikus csoport öt konjugáltsági osztályának . Egy S = ABCD tetraéder négy csúcsának permutációit kaphatjuk önmagába a következőképpen: az S tetraéder minden P csúcsa egy másik T tetraéder három csúcsát tartalmazó síkon fekszik. A T tetraéder fennmaradó pontja egy olyan síkon fekszik, amely három pontja S tetraéder, az S tetraéder Q pontja pedig ezen a síkon kívül esik. A P → Q leképezést kapjuk. A permutációk öt konjugáltsági osztálya az  e, (12)(34), (12), (123), (1234), és ebből az öt osztályból a Möbius konfiguráció a konjugáltsági osztálynak felel meg. e. Ke-nek jelölik. Steinitz azt állítja , hogy ha két Ke tetraéder és , akkor ezeknek a tetraédereknek a nyolc síkját páratlan összegű indexek adják meg .

Steinitz azt is kijelenti, hogy csak egy Möbius-konfiguráció felel meg a geometriai tételnek. Ezt a tényt azonban Glynn vitatja ( Glynn 2010 ) – számítógépes kereséssel kimutatta, hogy pontosan kettő van , az egyik a Möbius konfigurációnak felel meg, a második konfigurációra (amely a fenti konjugálati osztálynak felel meg (12)(34) ) a tétel egy mező feletti összes háromdimenziós projektív térre is érvényes, általános testekre azonban nem . Vannak más hasonlóságok is a két konfiguráció között, beleértve azt a tényt, hogy önkettősek a matroid kettősség értelmében . Absztrakt módon a második konfigurációban 0,...,7 "pontok" és 0125+i, (i = 0,...,7) "síkok" vannak, ahol az egész számokat modulo nyolcra vesszük. Ez a konfiguráció a Möbius-konfigurációhoz hasonlóan két tetraéderként ábrázolható, amelyek egymásra vannak írva és körülírva - az egész számok ábrázolásában a tetraéderek lehetnek 0347 és 1256. Ez a két konfiguráció azonban nem izomorf, mivel a Möbius-konfigurációnak négy párja van. olyan síkok, amelyek nem tartalmaznak közös pontkonfigurációt, míg a második konfigurációban nincsenek ilyen síkok.

A Möbius-konfiguráció Levi-gráfja 16 csúcsot tartalmaz, minden ponthoz és síkhoz egy-egy, és az élek megfelelnek a csúcsok és síkok beesésének (egy pár egy sík és egy rajta fekvő csúcs). A gráf izometrikus a 16 Q 4 csúcsú hiperkocka gráfhoz . A szoros Möbius–Cantor konfigurációban , amelyet két egymásra írt négyszög alkot, a Möbius–Cantor gráf , Q 4 részgráfja , mint Levy-gráf.

Jegyzetek

Irodalom