A matematikában egy speciális kategória az a kategória , amely a halmazok kategóriájába szigorú függvényt tartalmaz . Ennek a funktornak köszönhetően az ebbe a kategóriába tartozó objektumokat a kiegészítő szerkezetű halmazokhoz hasonlóan kezelheti, és a morfizmusokat kiegészítő struktúrát megőrző függvényként ábrázolhatja. Sok kategóriának van nyilvánvaló értelmezése a konkrét kategóriákra vonatkozóan, mint például a csoportok kategóriája, a topológiai terek kategóriája és a tulajdonképpeni halmazok kategóriája. Másrészt vannak meghatározatlan kategóriák; például a topológiai terek homotópia kategóriája nem inkrementális, azaz nem enged be szigorú funktort a halmazok kategóriájába.
A konkrét kategória egy olyan ( C , U ) pár, amely:
Az U funktor egy feledékeny funktor , amely egy kategória objektumot társít a "vivőkészletéhez".
A C kategória akkor konkretizálható , ha van belőle szigorú funktor a halmazok kategóriájához. Konkrétan minden kis kategória példányosítható: az U függvényt úgy definiálhatjuk, mint egy C kategóriájú b objektumot, amely az összes f : a → b nyilak halmazába küldi (minden lehetséges a objektumra ) , és egy g : b morfizmust . → C kategóriájú c egy U ( g ): U ( b ) → U ( c ) morfizmusra , amely az f : a → b nyilat a gf : a → c összetételre képezi le .
Az intuícióval ellentétben a "konkrétság" nem egy olyan tulajdonság, amellyel egy kategória rendelkezik vagy nem, hanem egy további struktúra, amellyel fel lehet ruházni, és egy kategória több szigorú függvényt is megengedhet egy készletben . A gyakorlatban azonban ez a függvény általában nyilvánvaló.
Az a követelmény, hogy U szigorú legyen , azt jelenti, hogy különböző morfizmusokat fix képpel és előképekkel képez le a halmazok különböző függvényeihez. Azonban képes "összeragasztani" a különböző kategóriájú objektumokat, és ha igen, akkor különböző morfizmusokat képez le egyetlen függvénybe.
Például, ha S és T két különböző topológia ugyanazon az X halmazon , akkor ( X , S ) és ( X , T ) a topológiai terek és folyamatos leképezések Top kategóriájának különböző objektumai , de ugyanarra vannak leképezve. állítsa be az X -et a felejtős functor akció alatt Top → Set . Ráadásul az ( X , S ) → ( X , S ) és ( X , T ) → ( X , T ) azonosságmorfizmusok a Topban különböző morfizmusokként értendők , de ugyanazon függvénynek felelnek meg, mégpedig az X -en lévő azonosságfüggvénynek. .
Egy kategóriát nem növekményesnek nevezünk, ha nincs belőle szigorúan funkcionáló a halmazok kategóriájához.
Például a hTop kategória , amelynek objektumai topológiai terek, morfizmusai pedig homotopikus függvények osztályai, nem példányosítható. Bár a kategória objektumai halmazként is ábrázolhatók, a benne lévő morfizmusok nem függvények, hanem függvényosztályok. Peter Freud 1970 - ben bizonyította , hogy a hTop - ból hiányzik a szigorú funktor a Set - ben . Korábban kimutatták, hogy minden kis kategória és természetes átalakulás kategóriája nem konkrét.