Véglegesen generált Abel-csoport

A véges generált Abel-csoport egy véges generátorrendszer által adott Abel -csoport , azaz egy olyan kommutatív csoport, amelyre van egy véges halmaz , amelyre reprezentáció létezik: ${\megjelenítési stílus (G,+)}$ $x_{1},\dots ,x_{s}\in G$ $\forall x\in G$

{\displaystyle x=n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\dots +n_{s}x_{s))

hol vannak egész számok. ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{s))$

A véges generált Abel-csoportok szerkezete viszonylag egyszerű, és teljesen osztályozható, értékesnek tekinthető az a képesség, hogy bizonyos tárgyakat rájuk csökkentsünk. Példák egész számok és számok modulo , véges számú Abel-csoport véges számú közvetlen összege egyben véges Abel-csoport is. Az osztályozási tétel szerint nincs más (izomorfizmusig) véges generált Abel-csoport. Például a racionális számok csoportja nem véges: ha létezne generáló rendszer , akkor elég lenne egy természetes szám - koprímszámot venni a rendszerből a számok összes nevezőjével, hogy megkapjuk a -t , amelyet nem a rendszer generál . $(\mathbb {Z} ,+)$ $(\mathbb {Z} _{n},+)$ $(\mathbb {Q} ,+)$ $x_{1},\dots ,x_{s}\in \mathbb {Q}$ $w$ $1/w$ $\{x_{1},\dots ,x_{s}\}$

Osztályozás

A véges generált Abel-csoportok osztályozási tétele (amely a végesen generált modulok főideálok tartománya feletti osztályozásának speciális esete) kimondja, hogy bármely véges generált Abel-csoportizomorfegyszerű ciklikus csoportok és a végtelen ciklikus csoportok közvetlen összegével . ahol egy egyszerű ciklikus csoport olyan ciklikus csoport, amelynek a sorrendje hatványprímszám. Mit jelent, hogy minden ilyen csoport izomorf egy csoporthoz a következő formában: $G$

\mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} _{m_{1}}\oplus \dots \oplus \mathbb {Z} _{m_{t}}

ahol , és a számok prímszámok (nem feltétlenül eltérő) hatványai. Az értékeket a csoport egyedileg határozza meg (sorrendig) , különösen akkor és csak akkor véges, ha . $n \geqslant 0$ ${\displaystyle m_{1},\dots ,m_{t))$ ${\displaystyle n,m_{1},\dots ,m_{t))$ $G$ $G$ $n=0$

Abból a tényből kiindulva, hogy izomorf egy szorzattal, és akkor és csak akkor és a koprím és , bármely véges generált csoportot ábrázolhatunk közvetlen összeg formájában is. $G_{m}$ ${\displaystyle G_{j))$ ${\displaystyle G_{k))$ $j$ $k$ $m=jk$ $G$

\mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} _{k_{1}}\oplus \dots \oplus \mathbb {Z} _{k_{u}}

hol oszt , melyik oszt és így tovább amíg . És ismét a és számokat a csoport egyedileg adja meg . $k_{1}$ $k_{2}$ $k_{3}$ $k_{u}$ $n$ ${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{u))$ $G$

Irodalom

Melnikov O. V., Remeslennikov V. N., Romankov V. A. . fejezet II. Csoportok // Általános algebra / Az általános alatt. szerk. L. A. Szkornyakova . - M . : Nauka , 1990. - T. 1. - S. 66-290. — 592 p. — (Referencia matematikai könyvtár). — 30.000 példány. — ISBN 5-02-014426-6 .