Véges p-csoport

Egy csoportot véges csoportnak $p$ nevezünk , ha annak rendje megegyezik egy prímszám valamely hatványával .

A véges p-csoportok alapvető tulajdonságai

Legyen tehát véges -csoport $P$ $p$

P nilpotens .
$|Z(P)|>1$ , ahol a P csoport középpontja . $Z(P)$
Bármelyikhez létezik egy rendes alcsoport . $1\leq k<n$ $P$ $p^{k}$
Ha normális -ban , akkor . $H$ $P$ $|H\cap Z(P)|>1$
$P'\leq \Phi (P)$ .
$P/\Phi (P)\cong E_{p^{d))$ .

A véges p-csoportok néhány osztálya

Ez a rész a véges csoportok néhány osztályának definícióit és tulajdonságait írja le, amelyekkel gyakran foglalkoznak a tudományos irodalom. $p$

a maximális osztály p-csoportjai

Egy véges rendcsoportot maximális osztálycsoportnak nevezünk , ha nilpotenciaosztálya egyenlő -val . $p$ $p^{n}$ $n-1$

Ha a maximális osztály véges -csoportja, akkor és . $P$ $p$ $P'=\Phi (P)$ $|Z(P)|=p$

A maximális osztály egyetlen 2 rendű csoportja: a diédercsoport , az általánosított kvaterniócsoport és a félédercsoport . $2^{n}$ $D_{2^{n))$ $Q_{2^{n))$ $SD_{2^{n))$

A 2-es csoportokkal ellentétben a maximális osztályú p-csoportok esete p>2 esetén sokkal bonyolultabb.

p-central p-csoportok

Egy véges csoportot -centrálisnak nevezünk, ha . A fogalom bizonyos értelemben kettős az erős -csoport fogalmával . $p$ $p$ $\Omega _{1}(P)\leq Z(P)$ $p$

Erőteljes p-csoportok

Egy véges csoportot erősnek nevezünk if for és for . A fogalom bizonyos értelemben kettős a -központi -csoport fogalmával . $p$ ${\displaystyle [P,P]\leq P^{p))$ $p\neq 2$ ${\displaystyle [P,P]\leq P^{4))$ $p=2$ $p$ $p$

Szabályos p-csoportok

Egy véges csoportot regulárisnak nevezünk , ha , ahol , bármely . Például minden Abel - csoport szabályos lesz. A nem szabályos csoportot irregulárisnak nevezzük . $p$ $P$ $x,y\in P$ ${\displaystyle (xy)^{p}=x^{p}y^{p}c^{p))$ $c\in P'$ $p$

A szabályos -csoport bármely alcsoportja és faktorcsoportja reguláris . $p$
Egy véges -csoport akkor szabályos, ha a két elem által generált alcsoportjai közül bármelyik reguláris. $p$
A sorrend legfeljebb véges csoportja szabályos. $p$ ${\displaystyle p^{p))$
Egy véges -csoport, amelynek nilpotenciaosztálya kisebb a szabályosnál. Ezenkívül a 2. nilpotencia osztály összes csoportja szabályos a . $p$ $p$ $p>2$
Bármely véges, nem Abeli 2-es csoport szabálytalan.

Kis rendelések véges p-csoportjai

A sorrendben elkülönülő -csoportok száma $p$ $p^{n}$

A nem izomorf rendű csoportok száma 1: a csoport . $p$ $C_{p}$
A nem izomorf rendű csoportok száma 2: csoportok és . $p^{2}$ $C_{p^{2))$ $C_{p}\times C_{p}$
A nem izomorf rendű csoportok száma 5, ebből három Abel-csoport: , , és kettő nem Abeli csoport: a - és ; ha p = 2 - , . $p^{3}$ $C_{p^{3))$ $C_{p^{2}}\times C_{p}$ ${\displaystyle C_{p}\times C_{p}\times C_{p))$ $p>2$ $E_{p^{3}}^{+}$ $E_{p^{3}}^{-}$ $D_{4}$ $Q_8$
A nemizomorf rendcsoportok száma 15 , a rendcsoportok száma 14. ${\displaystyle p^{4))$ $p>2$ $2^4$
A nem izomorf rendű csoportok száma egyenlő a -val . A rendelési csoportok száma 51, a rendelési csoportok száma 67. $p^{5}$ $2p+61+2GCD(p-1,3)+GCD(p-1,4)$ $p\geq 5$ $2^{5}$ $3^{5}$
A nem izomorf rendű csoportok száma egyenlő a -val . A rendelési csoportok száma 267, a rendelési csoportok száma 504. $p^{6}$ $3p^{2}+39p+344+24GCD(p-1.3)+11GCD(p-1.4)+2GCD(p-1.5)$ $p\geq 5$ $2^6$ $3^{6}$
A nem izomorf rendű csoportok száma egyenlő a -val . A rendelési csoportok száma 2328, a rendelési csoportok száma 9310, a rendelési csoportok száma 34297. ${\displaystyle p^{7))$ $3p^{5}+12p^{4}+44p^{3}+170p^{2}+707p+2455+(4p^{2}+44p+291)GCD(p-1,3) +(p^{2}+19p+135)GCD(p-1,4)+(3p+31)GCD(p-1,5)+4GCD(p-1,7)+5GCD(p-1, 8)+GCD(p-1,9)$ $p>5$ $2^7$ $3^{7}$ ${\displaystyle 5^{7))$

p-csoportok sorrend , aszimptotika $p^{n}$

A nem izomorf rendű csoportok száma aszimptotikusan egyenlő a -val . $n\jobbra nyíl\infty$ $p^{n}$ $p^{(2/27+O(n^{-1/3}))n^{3}}$

Híres problémák a véges p-csoportok elméletében

Egy véges p-csoport automorfizmuscsoportja

Azoknál a csoportoknál , amelyek egy véges csoport automorfizmusai , vannak egyszerű felső határok, de az alsó határok sokkal bonyolultabbak. Több mint fél évszázada a következő hipotézis maradt nyitva: $p$ $p$

Legyen egy nem ciklikus -rendi csoport , akkor . $P$ $p$ $|P|\geq p^{3}$ $|P|\leq |Syl_{p}(Aut(P))|$

Ez a sejtés beigazolódik a -csoportok nagy osztályára : Abel-csoportokra, legfeljebb minden rendcsoportra , maximális osztályú csoportokra. A probléma általános megközelítését azonban még nem találták meg. $p$ ${\displaystyle p^{7))$

Higman hipotézise

J. Thompson bebizonyított egy jól ismert tételt, miszerint egy reguláris prímrendű automorfizmusú véges csoport nilpotens. $q$

Legyen egy csoportnak szabályos főrendű automorfizmusa . Ekkor a nilpotencia osztálya . $P$ $q$ $cl(P)={\frac {q^{2}-1}{4))$

Eddig csak sokkal gyengébb becslések igazolódtak: (Kostrikin, Kreknin). ${\displaystyle cl(P)<q^{q))$

Weakened Burnside sejtés

Burnside sejtése az volt, hogy ha van egy csoport generátorokkal és periódussal (vagyis minden eleme kielégíti a relációt ), akkor az véges. Ha igen, akkor ezen csoportok maximumát jelöljük . Ekkor az összes többi, azonos tulajdonsággal rendelkező csoport annak faktorcsoportja lesz. Valójában könnyen kimutatható, hogy a csoport egy elemi Abel-2-csoport. Van der Waerden bebizonyította, hogy egy csoport sorrendje . Azonban, ahogy Novikov és Adyan megmutatta, minden furcsaság ellenére a csoport végtelen. $m$ $n$ $x$ $x^{n}=1$ $B(m,n)$ $B(m,2)$ $B(m,3)$ $3^{\frac {m(m^{2}+5)}{6}}$ $m\geq 2$ $n\geq 4381$ $B(m,n)$

A gyengített Burnside-sejtés azt állítja, hogy a véges generált perióduscsoportok sorrendje korlátos. Ezt a sejtést Efim Zelmanov igazolta . Véges csoportok esetén ez azt jelenti, hogy egy adott kitevőből és adott számú generátorból csak véges sok csoport van. $m$ $n$ $p$ $p$

Szabálytalan p-csoportok

A rendhagyó p-csoportok osztályozása . $p^{p+1}$

Irodalom

Belonogov V. A. Feladatkönyv a csoportelméletről - M .: Nauka , 2000.
Vinberg E. B. Algebra tanfolyam. - 3. kiadás - M . : Factorial Press, 2002. - 544 p. - 3000 példányban. — ISBN 5-88688-060-7 .
Hall M. Csoportok elmélete. Külföldi irodalom kiadója - M. , 1962.
Khukhro E.I. Az Abel-féle p-csoportok automorfizmusainak p-csoportjairól - Algebra i Logika, 39, N 3 (2000), 359-371.
Berkovich Y. A főhatalmi rend csoportjai, I., II. rész, (előkészítés alatt).
Berkovich Y., Janko Z. A főhatalmi rend csoportjai, III. rész, (előkészítés alatt).
Gorenstein D. Véges csoportok – NY: Harper and Row, 1968.
Huppert B. Endliche Gruppen I. - Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967.
Lazard M. Groupes analytiques p-adiques - Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci. 26, 389-603 (1965)].
Lubotzky A., Mann A. Erőteljes p-csoportok, I: véges csoportok, J. Algebra, 105, N2 (1987), 484-505; II: p-adikus analitikai csoportok, uo., 506-515.
Weigel T. A p-centrális csoportok kombinatorikus tulajdonságai - Freiburg Univ., 1996, preprint.
Weigel T. p-Központi csoportok és Poincare kettősség - Freiburg Univ., 1996, preprint.

Linkek

GAP rendszer .