Komplex projektív sík

A komplex projektív sík egy kétdimenziós komplex projektív tér ; egy kétdimenziós komplex sokaság , valós mérete 4.

Általában jelölik . ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{2))$

Épület

A komplex projektív síkon lévő pontokat homogén komplex koordinátákkal írják le

(z_{1},z_{2},z_{3})\in \mathbb {C} ^{3},\qquad (z_{1},z_{2},z_{3})\ neq(0,0,0).

Ebben az esetben a skalárral eltérő hármasokat azonosnak tekintjük:

(z_{1},z_{2},z_{3})\equiv (\lambda z_{1},\lambda z_{2},\lambda z_{3});\quad \lambda \in \mathbb {C} ,\qquad \lambda \neq 0.

Topológia

${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{2))$ homeomorf az 5-gömb hányadosával a Hopf-akció által . ${\displaystyle \mathbb {S} ^{5}\subset \mathbb {C} ^{3))$ ${\mathbb S}^{1}$

Betty számai : 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, .....

${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{2))$ egyszerűen kapcsolódik , alapcsoportja triviális.
A komplex projektív sík nemtriviális homotópiacsoportjai az $\pi _{2}\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}=\pi _{5}\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}=\mathbb {Z}$ .

magasabb dimenziókban a homotópia csoportok megegyeznek az 5-gömbös csoportokkal.

Algebrai geometria

A biracionális geometriában összetett racionális felületnek minősül minden olyan algebrai felület , amely biracionálisan ekvivalens a komplex projektív síkkal. Ismeretes, hogy a síkból bármely nem szinguláris racionális sokaság a felfújható transzformációk és azok inverz ("összehúzódások") görbéinek eredményeként jön létre, amelyeknek nagyon specifikus alakúaknak kell lenniük. Speciális esetként a P 3 másodrendű nem szinguláris komplex felületeit úgy kapjuk meg a síkból, hogy két pontot felfújunk görbékké, majd e két ponton keresztül egy egyenest összehúzunk. Az inverz transzformációk akkor láthatók, ha egy másodrendű Q felületen veszünk egy P pontot, felfújjuk, és P 3 -ban egy közönséges síkra vetítjük úgy, hogy P - n keresztül egyeneseket húzunk .

A komplex projektív sík biracionális automorfizmusainak csoportja a Cremona-csoport .

Differenciálgeometria

A komplex projektív sík egy 4 dimenziós sokaság. Van egy naturális metrikája, az úgynevezett Fubini -tanulmányi metrika, 1/4 csapszeges metszeti görbülettel ; azaz maximális metszeti görbülete 4, minimuma 1. Ezt a mérőszámot a faktoron a Hopf művelet indítja el . ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}=\mathbb {S} ^{5}/\mathbb {S} ^{1))$ ${\mathbb S}^{1}$ $\mathbb {S} ^{5}$

Lásd még

Jegyzetek

Irodalom

P.S. Alekszandrov. Analitikus geometria tanfolyam a lineáris algebrából. - M . : "Nauka", Fizikai és matematikai irodalom főkiadása, 1979. - 598. o.
CE Springer. Projektív terek geometriája és elemzése. - W. H. Freeman and Company , 1964. - S. 140-3.
M. Gromov. A görbület jele és geometriai jelentése. - Izhevsk: "Szabályos és kaotikus dinamika" kutatóközpont, 1999. - ISBN 5-93972-020-X .
Weisstein, Eric W. Complex Projective Plane (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .