Kovariáns módszer

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2011. június 16-án áttekintett verziótól ; az ellenőrzések 8 szerkesztést igényelnek .

A kovariáns módszer az elméleti fizika F. I. Fedorov által kidolgozott, lineáris algebrán és direkt tenzorszámításon alapuló megközelítése . Széles körben elterjedt az optikai jelenségek leírásában, részben pedig az elemi részecskefizikában.

A módszer lényege

A kovariáns módszer fizikai elméletek tömör matematikai megfogalmazása tenzoralgebra segítségével. A módszer fő alkalmazási területei az elméleti optika és akusztika . A kovariáns módszer nagyban leegyszerűsíti azokat a nehézkes kifejezéseket, amelyek a mezők terjedésének leírásakor jelennek meg összetett ( anizotrop , girotróp , bianizotróp ) közegben. A módszer segítségével a Lorentz-csoport alkalmazásokban kényelmes vektorparaméterezését vezetjük be , amely tovább alkalmazható az elemi részecskék elméletében .

Az elektromágneses és akusztikus tereket általában vektorok írják le . Ha a tér , amelyben a hullám terjed , szimmetrikus , akkor a térvektor és a közeget leíró tenzorok komponenseikkel megadhatók valamilyen koordinátarendszerben , összhangban a rendszer szimmetriájával, amelyet általában az optikában és az akusztikában használnak. A vektorok és tenzorok azonban a koordinátarendszerre való tekintet nélkül is felírhatók, egyszerűen geometriai objektumokként, amit a kovariáns módszerben használnak. Emiatt a kovariáns módszert koordináta nélkülinek is nevezik (a feladat megoldásakor nincs megadva konkrét koordinátarendszer ). A kristályban történő hullámterjedés leírása a tenzorokon és vektorokon végzett műveletekre redukálódik, amelyekhez olyan módszereket fejlesztettek ki, amelyek leegyszerűsítik a tenzorokkal való munkát, és kifejezetten felhasználják azok invariánsait (a második vegyértékű tenzorok háromdimenziós térében ezek a trace , a tenzor determinánsa és a kölcsönös tenzor determinánsa ). A kristályszimmetriákat ebben a megközelítésben az invariánsok közötti bizonyos kapcsolatokként fejezik ki, és a kristályt leíró tenzorok kényelmes kifejezésekkel rendelkeznek.

Tenzorok típusai

A kovariáns módszerben használt háromdimenziós tér tenzorainak fő típusai a következők

az egységtenzor , ${\textbf {1}}$

— vetületi operátor az egységvektor irányába — diád , ${\textbf {n))$ ${\textbf {n}}\otimes {\textbf {n}}$

egy vetületi operátor az egységvektorra merőleges síkra , $I={\textbf {1}}-{\textbf {n}}\otimes {\textbf {n}}=-{\mathbf {n} ^{\times }}^{2}$ ${\textbf {n))$

a tenzor duális a vektorral : . ${\textbf {n}}^{\times }$ $\mathbf {n}$ ${\displaystyle \mathbf {n} _{ij}^{\times }=\epsilon _{ilj}n_{l))$

Az optikai kristályok lehetnek izotróp , egytengelyűek vagy biaxiálisak . A kristályok anizotrópiáját a permittivitás tenzor határozza meg , amely axiális formában ábrázolható:

1. izotróp közeg , $\varepsilon =\varepsilon {\textbf {1))$

2. egytengelyű kristály (a vektor határozza meg az optikai tengely irányát ), $\varepsilon =\varepsilon _{1}{\textbf {1}}+(\varepsilon _{2}-\varepsilon _{1}){\textbf {c}}\otimes {\textbf {c} }$ ${\textbf {c))$

3. biaxiális kristály . $\varepsilon =a{\textbf {1}}+b({\textbf {c}}'\otimes {\textbf {c}}''+{\textbf {c}}''\otimes {\ textbf{c}}')$

Az optikai tengelyek irányait meghatározó vektorok teljesen meghatározottak a megfelelő tenzorok sajátértékei és főtengelyei [1], [3], [4] szempontjából.

A Lorentz-csoport vektoros paraméterezése

Az általános Lorentz -csoport a forma transzformációinak csoportjaként ábrázolható ${\textbf {}}L$

$L=\left({\begin{array}{cc}\alpha &i{\textbf {u}}\\i{\textbf {v}}&k\end{array}}\right)$ ,

feltételeknek megfelelő , . A Lorentz-mátrix egy háromdimenziós komplex vektorral paraméterezhető, és a formája van ${\textbf {}}(\det L)^{2}=1$ ${\textbf {}}LL^{T}=L^{T}L=1$ ${\textbf {}}L$ ${\textbf {q))$

$L={\frac {(1+{\textbf {q}}_{+})(1+{\textbf {q}}_{-}^{\ast })}{|1+{ \textbf {q}}^{2}|}}$ ,

ahol és négydimenziós antiszimmetrikus mátrixok , amelyek a komplex háromdimenziós vektorhoz vannak hozzárendelve . A fenti mátrixokat a vektor és annak komplex konjugált vektora határozza meg, és egyenlők ${\textbf {q}}_{+}$ ${\textbf {q}}_{-}^{\ast }$ ${\textbf {q))$ ${\textbf {q))$ ${\textbf {q}}^{\ast }$

${\textbf {q}}_{+}=\left({\begin{array}{cc}{\textbf {q}}^{\times }&{\textbf {q}}\\- {\textbf {q}}&0\end{array}}\right),\qquad {\textbf {q}}_{-}^{\ast }=\left({\begin{array}{cc}{ \textbf {q}}^{\ast \times }&-{\textbf {q}}^{\ast }\\{\textbf {q}}^{\ast }&0\end{array}}\right )$ .

A Lorentz-csoport vektorparamétereire a következő összetételi törvény érvényes

${\textbf {q}}''={\frac ({\textbf {q}}+{\textbf {q}}'+{\textbf {q}}\times {\textbf {q}} '}{1-{\textbf {q}}{\textbf {q}}'}}$ .

A forgatási csoportra vektorparaméterezés is bevezethető , és ebben az esetben a vektorparaméterek a valós háromdimenziós térhez tartoznak, és összetételük törvénye is megegyezik.

A módszer alkalmazása

A kovariáns módszer lehetővé teszi a számítások végrehajtását vektorokkal és tenzorokkal közvetlen formájukban, anélkül, hogy indexjelölést kellene igénybe venni. Ebben az esetben a kapott kifejezések tömörsége és egyszerűsége érhető el.

Például a polarizációs kritériumok a következő formájúak:

$\mathbf {E} ^{2}=0$ - körkörös polarizáció

$[\mathbf {E} ,\mathbf {E} ^{*}]=0$ - lineáris polarizáció

A cirkuláris és lineáris polarizáció kritériumának számos változata létezik [3]. Ha a fenti kritériumok egyike sem teljesül, akkor az elliptikus polarizáció általános esetével állunk szemben, és a polarizációs ellipszis tengelyeinek méreteit és tájolását sokkal kompaktabb formában találjuk meg, mint a derékszögű koordinátarendszerben [ 7].

Extrák

A Fehérorosz Állami Egyetem Elméleti Fizikai Tanszékének munkatársai a kovariáns módszer általánosításával foglalkoznak. Egy ilyen általánosított módszert operátornak [6] neveztek, mivel a tér két pontján lévő mezőket összekötő evolúciós operátorok alkalmazásán alapul. Az operátori módszer rétegrendszerek leírására alkalmazható (beleértve a henger- és gömbszimmetriájúakat is ).
A kovariáns módszert nemcsak a fehérorosz fizikusok munkáiban alkalmazták sikeresen, hanem a Szovjetunió Tudományos Akadémia Krisztallográfiai Intézetének dolgozóinak tanulmányaiban is [1] [2] .

Lásd még

Differenciálformák az elektromágnesességben

Jegyzetek

↑ Yu.I. Sirotin, M.P. Shaskolskaya. A kristályfizika alapjai. - M.: Nauka, 1975.
↑ A.F. Konstantinova, B.N. Grechusnyikov, B.V. Bokut, E.G. Valyashko. A kristályok optikai tulajdonságai. - Minszk: Tudomány és technológia, 1995.

Irodalom

[1] F.I. Fedorov. Az anizotróp közegek optikája. - Minszk: A BSSR Tudományos Akadémiájáról, 1958; 2. kiadás M.: URSS, 2004.
[2] F.I. Fedorov. Elasztikus hullámok elmélete kristályokban. - M.: Nauka, 1965; New York: Plenum Press, 1968.
[3] F.I. Fedorov. A girotrópia elmélete. - Minszk: Tudomány és technológia, 1976.
[4] F.I. Fedorov, V.V. Filippov. A fény visszaverődése és törése átlátszó kristályok által. - Minszk: Tudomány és technológia, 1976.
[5] F.I. Fedorov. Lorentz csoport. - M.: Nauka, 1979; 2. kiadás M.: URSS, 2003.
[6] L.M. Barkovszkij, A.N. Szőrme. Operátori módszerek optikai mezők leírására összetett médiában. - Minszk: Fehérorosz Tudomány, 2003.
[7] M. Born, E. Wolf Az optika alapjai
[8] IS Res. Példátlan plágium az elektromágneses hullámok elméletében. - Kristály. Res. Technol., 1988, Vol. 23, 4. szám, K77-K79.