Frobenius kovariáns

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. február 24-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 6 szerkesztést igényelnek .

Az A négyzetmátrix Frobenius-kovariánsai speciális polinomok, nevezetesen az A i projektorok , amelyek az A mátrix sajátértékeihez és vektoraihoz kapcsolódnak [ 1 ] . A kovariánsokat Ferdinand Georg Frobenius német matematikusról nevezték el .

Minden kovariáns egy vetület a saját térére , amely a saját értékéhez kapcsolódik . A Frobenius-kovariánsok a Sylvester-formula együtthatói , amely a mátrixfüggvényt mátrixpolinomként fejezi ki . $\lambda _{i}$ $f(A)$

Formális definíció

Legyen A egy diagonalizálható sajátértékmátrix . ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k))$

A for Frobenius kovariánsa a mátrix $A_{i}$ $i=1,\pontok ,k$

A_{i}\equiv \prod _{j=1 \atop j\neq i}^{k}{\frac {1}{\lambda _{i}-\lambda _{j))}( A-\lambda _{j}E)~.

Lényegében ez egy Lagrange-polinom , amelynek argumentuma mátrix. Ha a sajátérték egyszerű, akkor az egydimenziós teret nem módosító vetületi mátrixnak egységnyi nyoma van . $\lambda _{i}$ $A_{i}$

Kovariánsok számítása

Az A mátrix Frobenius-kovariánsai a mátrix tetszőleges spektrális dekompozíciójából megkaphatók , ahol S nem szinguláris és D egy diagonális mátrix -val . Ha A -nak nincs több sajátértéke, akkor legyen az A mátrix i - edik jobb oldali sajátvektora , azaz az S mátrix i - edik oszlopa . Legyen A i - edik bal oldali sajátvektora , nevezetesen az i - edik sor . Akkor . $A=SDS^{-1}$ ${\displaystyle D_{i,i}=\lambda _{i))$ $c_{i}$ $r_{i}$ $S^{{-1}}$ $A_{i}=c_{i}r_{i}$

Ha A -nak több sajátértéke van , akkor , ahol az összegzés a sajátértékhez tartozó összes sorra és oszlopra vonatkozik [2] . $\lambda _{i}$ $A_{i}=\sum _{j}{c_{j}r_{j))$ $\lambda _{i}$