Integrálszámítás

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. december 28-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Az integrálszámítás a matematikai elemzés egy része , amely az integrált , annak tulajdonságait és számítási módszereit vizsgálja [1] .

Hossz, terület és térfogat

Arkhimédész "A kör kerületének méréséről" című munkájában a kör területének és kerületének meghatározásának kérdését vizsgálják, a " A golyóról és a hengerről " című értekezésben pedig a testek felületéről és térfogatáról. ívelt felületek határolják; ezek a kérdések jelentik a számítással kapcsolatos első geometriai problémákat. Jelenleg pedig a számítás fő feladata a görbe vonalú alakzatok területeinek megtalálása. Egy görbe vonalú alakzat területe (1. ábra) azt a határt jelenti, amelyre az ábrába írt sokszög területe az oldalak számának növekedésével hajlik, és ezek az oldalak kisebbre tehetők, mint bármely előre meghatározott tetszőlegesen kicsi. szám. $S$

Az önkényes geometriai formák területének kiszámításának fő ötlete a következő. Először is, hogyan kell kiszámítani a téglalap területét, azaz hogyan kell bizonyítani, hogy területe a hosszúság és a szélesség szorzata. Ha geometriáról beszélünk, ahol minden konstrukciót körzővel és vonalzóval kell elvégezni , akkor ebben a geometriában a hosszúság és a szélesség aránya racionális szám (lásd Pogorelov tankönyvét), vagyis ha a hosszúságot egy egység, akkor a szélesség törtként fejezhető ki , ahol és természetes számok . Egy ilyen téglalaphoz választhat egy ilyen „egy négyzetet”, amely teljesen lefedi egy ilyen téglalapot. Az "egynégyzetes" oldal a következőképpen választható: d = gcd( m , n ) , ahol egy természetes szám. Például, ha van egy 10 cm hosszú és 14 cm széles téglalapunk, akkor egy ilyen téglalapot körzővel és vonalzóval is meg lehet építeni (ha a hosszt egységeknek vesszük, a szélessége 14/10 = 7/5 lesz) . Az "egy négyzet" oldalaként d \u003d GCD (14, 10) \u003d 2 cm lehet . Ez a négyzet 5-ször hosszában és 7-szer szélességében illeszkedik, összesen 5 × 7 = 35 ilyen „egynégyzetre” van szüksége. 1 cm-es oldalú négyzeteket vehetünk, amelyek 10-szeres hosszúságúak és 14-szeres szélességűek, összesen 10 × 14 = 140 ilyen „egynégyzetre” van szükség. Ebből a konstrukcióból látható, hogy a méret (lásd) nem játszik lényeges szerepet egy ilyen konstrukcióban. $m/n$ $m$ $n$ $d$

Egy derékszögű háromszög területe kiszámítható, ha észreveszi, hogy ha pontosan ugyanazt a háromszöget teszi mellé, akkor egy téglalapot kap. Mivel a háromszög területét megdupláztuk, a háromszög területe a téglalap területének fele. A paralelogramma területét hasonló, kissé összetettebb módon határozzuk meg, egy téglalap és egy háromszög területén keresztül. A sokszögek területét a háromszögek területének segítségével határozzuk meg.

Hogyan határozható meg egy tetszőleges görbe területe? Például egy görbe, amely egy folytonos függvény, amelyet egyenesek és ? $x=a$ $x=b$

Ha megpróbál egy ilyen alakot "egyetlen négyzetekre" bontani, akkor kitöltetlen "lyukak" lesznek (mint az olyan téglalapok esetében, amelyek oldalai nem egyenlőek egy racionális számmal). Ebben az esetben két burkolatot próbálnak készíteni: „felülről” és „alulról” téglalapokkal, vagyis úgy téglalapokat építeni, hogy azok tartalmazzák a függvény grafikonját vagy ne. Itt lényeges, hogy pontosan hogyan fogunk téglalapokra osztani (lásd alább). A második pont az, hogy ha egyre kisebb partíciókat veszünk, akkor a „felülről” és az „alulról” lefedettségi területnek konvergálnia kell, és konvergálnia kell valamilyen véges értékhez. A harmadik pont az, hogy a „felső” és az „alsó” lefedettségi területnek ugyanahhoz a számhoz kell konvergálnia.

Térjünk vissza a téglalapokra való felosztás módszeréhez. Legalább két általános módszer létezik.

Riemann a Newton és Leibniz által kidolgozott integrál fogalmát egy részgráf területeként formalizálta (a függvény gráfja és az x tengely közé zárt ábra ) . Ehhez több függőleges téglalapból álló és egy szakasz felosztásával kapott ábrákat vett figyelembe (lásd az ábrát). Ha a partíció „finomítása” során van egy határ, amelyhez az ilyen alakzatok területei (integrálösszegek) konvergálnak, ezt a határértéket az intervallum függvényének Riemann-integráljának nevezzük. A részletekért lásd a Riemann integrált .

A Lebesgue-integrál megalkotásának az az ötlete, hogy ahelyett , hogy az integrandus definíciós tartományát részekre osztanánk, majd az ezeken a részeken lévő függvény értékeiből összeállítanák az integrál összeget, az értéktartományt felosztják intervallumokat, majd ezen intervallumok inverz képeinek mértékét összeadjuk a megfelelő súlyokkal.

Térjünk vissza a Riemann-integrál definíciójához.

A megadott feladatot integrálszámítással oldjuk meg, ha az ábra görbe körvonalát egyenlettel adjuk meg, ahogy az analitikus geometriában történik (lásd Analitikus geometria és Differenciálszámítás ). Legyen az adott görbe (2. ábra) egyenlete . $S$ $S$ $y=f(x)$

Határozzuk meg a -s tengely szakasza , két ordináta és a görbe íve által alkotott területet . Nyilvánvaló, hogy bármely görbe vonalú alak területének megtalálása lecsökkenthető az ilyen területek megkeresésére (vagyis három egyenesre és a görbe ívére korlátozva). Rajzoljunk a tengelyszakasz osztási pontjainak megfelelő , ... szélső ordináták és ordináták közé . Ezeket a pontokat tetszőlegesen választjuk ki, azzal az egyetlen megkötéssel, hogy a szám növekedésével a szegmensek közül a legnagyobb végtelenül kicsi (például egymástól egyenlő távolságra ... pontok választhatók). Feltéve, hogy a fenébe is van ez. A 2. ábrán látható, hogy a görbe ordinátái folyamatosan nőnek, amikor -ról -ra haladunk, könnyen belátható, hogy az ábra görbe területe a következő két összeg között lesz: $P_{0}M_{0}M_{n}P_{n}$ $x$ $P_{0}P_{n}$ $M_{0}P_{0}$ $M_{n}P_{n}$ $M_{0}M_{n}$ $S$ $M_{0}P_{0}$ $M_{n}P_{n}$ $n-1$ $M_{1}P_{1}$ $M_{2}P_{2}$ $P_1$ $P_2$ $P_{0}P_{n}$ $n$ $P_{1},P_{2}$ $M_{0}$ $M_{n}$ $S$

$S_{n}=f(x_{0})(x_{1}-x_{0})+f(x_{1})(x_{2}-x_{1})+...+f(x_) {{n-1}})(x_{n}-x_{{n-1}})$

és $S'_{n}=f(x_{1})(x_{1}-x_{0})+f(x_{2})(x_{2}-x_{1})+...+f (x_{n})(x_{n}-x_{{n-1}})$

ahol , , , …, , $x_{0}=OP_{0}$ $x_{1}=OP_{1}$ $x_{2}=OP_{2}$ $x_{n}=OP_{n}$

a , , , …, . $f(x_{0})=M_{0}P_{0}$ $f(x_{1})=M_{1}P_{1}$ $f(x_{2})=M_{2}P_{2}$ $f(x_{n})=M_{n}P_{n}$

Lásd még

integrál egyenlet
Integrált jel
Differenciálszámítás
Az integrálszámítás fejlődésének történeti vázlatát a Matematikai elemzés című cikk tartalmazza .

Jegyzetek

↑ Integrálszámítás // Kazahsztán. Nemzeti Enciklopédia . - Almati: Kazah enciklopédiák , 2005. - T. II. — ISBN 9965-9746-3-2 . (Orosz) (CC BY SA 3.0)

Irodalom

Vinogradov I. M. (szerk.) Mathematical Encyclopedia . - 2. kötet. - M .: Szovjet Enciklopédia , 1977.
Grave D. A. Integral calculus // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára : 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890-1907.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy norvég Nagy orosz Brockhaus és Efron olasz Kis Brockhaus és Efron Britannica (online) Treccani Modern Ukrajna
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4027232-1 J9U : 987007293763805171 LCCN : sh85018804 NKC : ph121134