Fresnel integrálok

Az S ( x ) és C ( x ) Fresnel integrálok Augustin Jean Fresnelről elnevezett speciális függvények , amelyeket az optikában használnak . Ezek a Fresnel-diffrakció kiszámításakor keletkeznek, és a következőképpen definiálják őket

S(x)=\int \limits _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt,\quad C(x)=\int \limits _{0}^{ x}\cos(t^{2})\,dt.

Az S ( x ) és C ( x ) paraméteres diagramja egy görbét ad a síkban, amelyet Cornu spirálnak vagy klotoidnak neveznek .

A sorozat bővítése

A Fresnel integrálok olyan hatványsorokkal ábrázolhatók, amelyek minden x esetén konvergálnak :

S(x)=\int \limits _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1) ^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}}={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac { x^{7}}{42}}+{\frac {x^{11}}{1320}}-\cdots ,

C(x)=\int \limits _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1) ^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}}=x-{\frac {x^{5}}{10}}+{\frac { x^{9}}{216}}-\cdots .

Egyes szerzők [1] trigonometrikus integrandusok argumentumaként használják . Az így definiált Fresnel-integrálokat a fent definiált integrálokból a változó megváltoztatásával és az integrálok szorzatával kapjuk meg . ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ $t\to {\sqrt {\frac {\pi }{2))}t$ ${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi ))))$

Spiral Cornu

A Cornu-spirál , más néven clothoid , egy görbe, amely S ( t ) és C ( t ) paraméteres görbéje. A Cornu spirált Marie Alfred Cornu találta fel, hogy megkönnyítse az alkalmazott problémák diffrakciójának kiszámítását.

Mert

C\,'(t)^{2}+S\,'(t)^{2}=\sin ^{2}(t^{2})+\cos ^{2}(t^ {2})=1,

akkor ebben a paraméterezésben az érintővektor egységnyi hosszúságú, tehát t a görbe (0,0) ponttól mért hossza. Ezért a spirál mindkét ága végtelen hosszúságú.

Ennek a görbének a görbülete bármely pontban arányos az adott pont és az origó közötti ív hosszával. Ennek a tulajdonságának köszönhetően az útépítésben használják, mivel az ezen a íven állandó sebességgel haladó autó szöggyorsulása állandó marad.

Tulajdonságok

$S(x)$ és páratlan függvények . $C(x)$ $x$

A Fresnel-integrálok aszimptotikáját a képletek adják meg $x\to \infty$

S(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {{\mbox{sign}}{(x))){2}}-{\ frac {\cos {(x^{2})}}{x{\sqrt {2\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]-{\frac {\ sin {(x^{2})}}{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]\right),

C(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {{\mbox{sign}}{(x))){2}}+{\ frac {\sin {(x^{2})}}{x{\sqrt {2\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]-{\frac {\ cos {(x^{2})}}{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]\right).

A sorozatbővítés segítségével a Fresnel-integrálok analitikus folytatása készíthető a teljes komplex síkra. A komplex Fresnel-integrálokat a hibafüggvényben fejezzük ki

S(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {i}}\, x)+{\sqrt {-i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\jobbra)

C(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {-i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {i}}\ ,x)+{\sqrt {i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\jobbra)

A Fresnel-integrálokat speciális esetek kivételével nem elemi függvényekkel fejezzük ki . Ezen függvények határértéke at egyenlő $x\rightarrow \infty$

\int \limits _{0}^{\infty }\cos t^{2}\,dt=\int \limits _{0}^{\infty }\sin t^{2}\,dt ={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}.

Számítás

A C és S at függvények határértékei kontúrintegrációval kereshetők meg. Ehhez vesszük a függvény kontúrintegrálját $x\rightarrow \infty$

e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}

a szektor határa mentén az x tengely, a sugár és az R sugarú kör által alkotott komplex síkon, amelynek középpontja az origóban van. $y=x$ $x \geqslant 0$

Az ív mentén az integrál 0-ra, a valós tengely menti integrál a Poisson-integrál értékére hajlik $R\rightarrow \infty$

\int \limits _{0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}dt={\sqrt {\frac {\pi }{2 }}},

és néhány transzformáció után a maradék sugár mentén lévő integrál a Fresnel-integrál határértékével fejezhető ki.

Lásd még

Jegyzetek

Milton Abramowitz és Irene A. Stegun, szerk. Matematikai függvények kézikönyve képletekkel, grafikonokkal és matematikai táblázatokkal. - New York: Dover, 1972. (Lásd a 7. részt) (eng.)

↑ 7.3.1 - 7.3.2 egyenletek

Linkek

Weisstein, Eric W. Fresnel Integrals (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén . (Angol)
Weisstein, Eric W. Cornu Spiral (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén . (Angol)
R. Nave, The Cornu spiral , Hyperphysics (2002) (πt²/2-t használ t² helyett. )
Roller Coaster Loop Shapes (nem elérhető link) . Letöltve: 2008. augusztus 13. Az eredetiből archiválva : 2006. március 4.. (határozatlan) (angol).