Schwartz invariáns

Az analitikus függvény Schwartz-invariánsa , Schwartz- származéka vagy Schwarzi -féle (néha a jelölést használják ) az alak differenciális operátora . ${\megjelenítési stílus (Sf)(z)}$ $\{f,\;z\}$ $F z)$

(Sf)(z)={\frac {f'''(z)}{f'(z)}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {f' '(z)}{f'(z)}}\jobbra)^{2}.

Tulajdonságok

A lineáris-törtfüggvény Schwartz-invariánsa egyenlő nullával. Ennek a könnyen ellenőrizhető ténynek nagy alapvető jelentősége van. Valójában, ha a második derivált határozza meg egy differenciálható függvény közelségének mértékét egy lineáris függvényhez, akkor a Schwartz-invariáns ugyanazt a szerepet tölti be egy lineáris-tört függvénynél.
Ha egy analitikus függvény, és egy lineáris-tört leképezés, akkor a reláció érvényben lesz , vagyis a lineáris-tört leképezés nem változtatja meg a Schwartz-invariánst. Másrészt a f o g Schwartz-származékot a következő képlettel számítjuk ki: $f$ $g$ $(Sf)(z)=(S(g\circ f))(z)$

(S(f\circ g))(z)=(Sf)(g(z))\cdot g'(z)^{2}.

Így a kifejezés[ tiszta ]

{\displaystyle (S(f))(z)\ dz^{\otimes 2))

invariáns lineáris-tört transzformációk alatt.

Általánosabban tetszőleges, kellően sokszor differenciálható f és g függvényekre

S(f\circ g)=\left(S(f)\circ g\right)\cdot (g')^{2}+S(g).

Bevezetünk két összetett változó függvényét

F(z,w)=\log \left({\frac {f(z)-f(w)}{zw))\right)

. Fontolja meg a kifejezést

{\frac {\partial ^{2}F(z,w)}{\partial z\,\partial w))={f^{\prime }(z)f^{\prime }(w ) \over (f(z)-f(w))^{2}}-{1 \over (zw)^{2}}

. A Schwartz-származékot a képlet fejezi ki

(Sf)(z)=\left.6\cdot {\partial ^{2}F(z,w) \over \partial z\partial w}\right\vert _{z=w}.

A Schwartz-származéknak van egy egyszerű képlete f és z permutálására

(Sf)(z)=-\left({\frac {df}{dz}}\right)^{2}(Sz)(f)

. A kifejezés jelentése a következő: koordinátának tekintjük, de függvénynek. Ezután kiszámítjuk a Schwarzit . Feltételezzük tehát, hogy az inverz függvénytétel alapján valóban egy lokális koordináta, a (ezt a megfigyelést felhasználva az utolsó tulajdonságot közvetlen számítással igazoljuk).

{\megjelenítési stílus (Sz)(f)}

f

z(f)

z(f)

f'\neq 0

f

z'(f)=1/f'(z)

A Schwartz-invariáns egyenlete

Tekintsünk egy közönséges differenciálegyenletet a forma analitikai függvényeiben . Ekkor annak két lineárisan független megoldása és teljesül az összefüggés . ${\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+Q(z)f(z)=0$ $f_1$ $f_{2}$ $\left(S{\frac {f_{1}}{f_{2}}}\right)(z)=2Q(z)$