Lezárás (algebra)

Az általános algebrában egy halmaz lezárása egy adott algebrai művelethalmazhoz képest egy adott halmaz lehetséges legkisebb (vagyis más hasonlót nem tartalmazó) kiterjesztése, amelyben ezeknek a műveleteknek az ilyen kiterjesztések elemeire történő alkalmazása ne lépje túl a határait. A minimális kiterjesztés mindig az összes leírt kiterjesztés metszéspontjaként fog létezni.

Formálisan legyen valamilyen algebra hordozójának részhalmaza . Ekkor a halmaz lezárása az aláíráshoz képest a ( )-t tartalmazó minimális részalgebra . $M$ $A$ ${\mathfrak A}=\langle A,\Sigma \rangle$ $M$ $\Sigma$ $\langle A_{0},\Sigma \rangle \subseteq {\mathfrak A}$ $M$ $M\subseteq A_{0}$

Példák:

A halmaz lezárása az összeadás művelete tekintetében az összes természetes szám halmaza lesz . $\{egy\}$ $\mathbb {N}$
A halmaz lezárása az összeadás és kivonás műveletei tekintetében az összes egész szám halmaza lesz , $\{egy\}$ $\mathbb {Z}$
Egy halmaz összeadás, szorzás vagy mindkét művelet együttes lezárása önmagával egybeesik. $\{0\}$

A lezárásával egybeeső halmazt algebrailag zártnak nevezzük (egy adott művelethalmazhoz képest).

Példák:

Az alcsoport a csoportművelet alatt zárva van.
A természetes számok részhalmaza az egész számok halmazában az összeadás művelete alatt zárt, de a kivonás művelete alatt nem . $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$

Lezárás (algebra)

Lásd még