A nulla vagy az egy törvénye

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. november 1-jén felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A nulla vagy az egy törvénye a valószínűségszámítás azon állítása, hogy minden maradék eseménynek , azaz olyan eseménynek, amelynek előfordulását csak független véletlenszerű események sorozatának vagy valószínűségi változók tetszőlegesen távoli elemei határozzák meg , nulla vagy egy valószínűségű . A törvényt Andrej Nyikolajevics Kolmogorov fedezte fel , ezért néha róla nevezik el.

Megfogalmazás

Legyen adott egy valószínűségi tér és definiáljunk rajta független (nem feltétlenül azonos eloszlású) valószínűségi változók sorozatát . Legyen a maradék -algebra , azaz. $(\Omega ,\;{\mathcal {F}),\;\mathbb {P} )$ $\{X_{n}\}_{{n=1}}^{\infty }$ ${\mathcal {F}}_{\infty }$ $\sigma$

{\mathcal {F}}_{\infty }=\sigma \left(\bigcap \limits _{{m=1}}^{\infty }\bigcup \limits _{{n\geqslant m}}{\ mathcal {F}}_{n}\right),

ahol a valószínűségi változó által generált -algebra . $\mathcal{F}_n$ $\sigma$ $X_n$

Akkor ha , akkor vagy . $A\in {\mathcal {F}}_{\infty }$ ${\mathbb {P}}(A)=0$ ${\mathbb {P}}(A)=1$

Más szóval, akkor maradványesemény, ha mérhető a valószínűségi változók által generált -algebrához képest , de függetlenül ezeknek a változóknak bármely véges részhalmazától. A tétel szerint egy ilyen esemény valószínűsége nulla vagy egy. $A$ $\sigma$ $\{X_{n}\}_{{n=1}}^{\infty }$

Példa

Legyen független valószínűségi változók sorozata. Aztán a sorozat $\{X_{n}\}_{{n=1}}^{\infty }$

\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }X_{n}

szinte biztosan konvergál vagy divergál , mivel a sorozat tagjainak egyetlen véges részhalmaza sem tudja megváltoztatni a konvergenciáját. Ha a sorozat minden tagja pozitívnak tekinthető, akkor a "a sorozat 1-nél kisebb értékre konvergál" esemény nem maradvány, mivel ez a sorozat első tagjának értékétől függ. .

Lásd még

Linkek

Ito. Valószínűségi folyamatok. I. szám 1960. 34. o. "9. § A nulla vagy az egy törvénye"
4. A nagy számok törvénye. A Borel-Cantelli lemma. A nulla és egy törvénye. Független valószínűségi változók összegeinek konvergenciája. / A.V. Kolesnikov. ELŐADÁSOK A VALÓSZÍNŰSÉGELMÉLETRŐL