Jordanov totient

Jordan-totient vagy Jordan-függvény [1] a -nál kisebb vagy egyenlő természetes számok sorainak száma , amelyek együtt prímszámok (együtt) halmazával jönnek létre. A függvény az Euler-függvény általánosítása , amely egyenlő . A függvény nevét Jordan francia matematikusról kapta . $k$ $n$ $n$ $J_{1}$

Definíció

A Jordan függvény multiplikatív , és a képletből számítható ki

J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{k))}\right)\,

, ahol a főosztóin fut keresztül .

p

n

Tulajdonságok

$\sum _{d|n}J_{k}(d)=n^{k}\,$ ,

amely a Dirichlet-konvolúciós nyelven [2]

J_{k}(n)\star 1=n^{k}\,

, és Möbius inverziókon keresztül mint

{\displaystyle J_{k}(n)=\mu (n)\star n^{k))

. Mivel a Dirichlet-generáló függvény , a Dirichlet-generáló függvény pedig , a sorozat a válik

\mu

1/\zeta(s)

{\displaystyle n^{k))

\zeta (sk)

{\displaystyle J_{k))

\sum _{n\geq 1}{\frac {J_{k}(n)}{n^{s))}={\frac {\zeta (sk)}{\zeta (s)} }

Azegyenlők átlagos sorrendje $J_{k}(n)$

{\frac {n^{k}}{\zeta (k+1)))

A Dedekind psi függvény egyenlő

\psi (n)={\frac {J_{2}(n)}{J_{1}(n)))

és a definíció vizsgálatával (megjegyzendő, hogy a prímszámok szorzatának minden egyes tényezője egy körpolinom ) kimutatható, hogy a vagy egész szám multiplikatív függvényként definiált aritmetikai függvények. ${\displaystyle p_{-k))$ ${\frac {J_{k}(n)}{J_{1}(n)))$ ${\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)))$

$\sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_ {r+s}(n)$ . [3] [4]

Mátrixcsoportok sorrendje

A mátrixok teljes lineáris csoportjának sorrendje van [ 5] $m$ $\mathbb {Z} _{n}$

|\operátornév {GL} (m,\mathbb {Z} _{n})|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=1}^ {m}J_{k}(n).

A feletti sorrend speciális lineáris csoportjának rendje van $m$ $\mathbb {Z} _{n}$

|\operátornév {SL} (m,\mathbb {Z} _{n})|=n^{\frac {m(m-1)}{2))\prod _{k=2}^ {m}J_{k}(n).

A mátrixok szimplektikus csoportjának sorrendje van $m$ $\mathbb {Z} _{n}$

|\operátornév {Sp} (2m,\mathbb {Z} _{n})|=n^{m^{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{2k}( n).

Az első két képletet Jordan fedezte fel.

Példák

Az OEIS J 2 bejegyzései az A007434 -ben , J 3 -ban az A059376 -ban, J4-ben az A059377-ben, J5-ben az A059378 - ban , J 6 - tól J 10 - ig az A069091 - A069095 - ös listákon .

Multiplikatív függvények, amelyeket a J 2 (n)/J 1 (n) arány határozza meg az A001615 -ben, J 3 (n)/J 1 (n) az A160889 -ben, J 4 (n)/J 1 (n) az A160891 -ben, J 5 (n)/J 1 (n) az A160893 -ban , J 6 (n)/J 1 (n) az A160895 -ben, J 7 (n)/J 1 (n) az A160897 -ben, J 8 (n)/J 1 (n ) ) az A160908 -ban , J 9 (n)/J 1 (n) az A160953 -ban , J 10 (n)/J 1 (n) az A160957 -ben, J 11 (n)/J 1 (n) az A160960 -ban .

Példák a J 2k (n)/J k (n) arányokra: J 4 (n)/J 2 (n) az A065958 -ban , J 6 (n)/J 3 (n) az A065959 -ben és J 8 (n)/J 4 (n) az A065960 -ban .

Jegyzetek

↑ Vannak más Jordan funkciók is. Tehát Merzljakov ezt írja: „ Tétel . Létezik egy "Jordan-függvény" a következő tulajdonsággal: minden véges G csoport tartalmaz egy Abel-normális A részcsoportot indexszel . $J:\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ $GL_{n}(\mathbb {C} )$ $\leqslant L(n)$
↑ Sándor, Crstici, 2004 , p. 106.
↑ Holden, Orrison, Varble .
↑ Gegenbauer-képlet
↑ Andrica, Piticari, 2004 .

Irodalom

Dickson LE A számelmélet története, 20. évf. I. - Chelsea Publishing , 1971. - P. 147. - ISBN 0-8284-0086-5 .
M. Ram Murty. Az analitikus számelmélet problémái. - Springer-Verlag , 2001. - T. 206. - P. 11. - ( Diplomás szövegek matematikából ). - ISBN 0-387-95143-1 .
Sándor József, Borislav Crstici. Számelmélet kézikönyve II. - Dordrecht: Kluwer Academic, 2004. - P. 32–36. — ISBN 1-4020-2546-7 .
Matthew Holden, Michael Orrison, Michael Varble. Az Euler-féle Totient-függvény egy újabb általánosítása . Az eredetiből archiválva: 2016. március 5.
Dorin Andrica, Mihai Piticari. Jordan aritmetikai függvényeinek néhány kiterjesztéséről // Acta universitatis Apulensis. - 2004. - 7. sz .

Linkek

Merzlyakov Yu.I. racionális csoportok. - Moszkva: "Nauka", 1980. - (Modern algebra).

Euler függvény
Euler függvény $\phi(n)$ Jordan funkció $J_{k}(n)$ Carmichael függvény $\lambda (n)$ nem-totient szám Nem mellékszám High-Tient Number Magas hányadosszám Kissé totient szám