Grunwald-Letnikov differenciálintegrál

A matematikában a Grunwald–Letnikov differenciálintegrál a derivált egyik fő általánosítása a törtszámításban , amely lehetővé teszi, hogy a deriváltokat nem egész számú alkalommal vegyük fel. Anton Karl Grunwald vezette be 1867-ben és A. V. Letnikov 1868-ban.

A Grunwald-Letnikov differenciálintegrál felépítése

A származék képlete

f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h))

rekurzívan alkalmazható magasabb rendű származékok előállítására. Például a másodrendű deriválthoz a következőket kapjuk:

f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}=

=\lim _{h_{1}\to 0}{\frac {\lim \limits _{h_{2}\to 0}{\dfrac {f(x+h_{1}+h_{2) })-f(x+h_{1})}{h_{2}}}-\lim \limits _{h_{2}\to 0}{\dfrac {f(x+h_{2})-f (x)}{h_{2}}}}{h_{1}}}.

Feltételezve, hogy minden növekmény ugyanúgy nullázódik, ez a kifejezés leegyszerűsíthető: $h$

f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2))} ,

amely szigorúan igazolható a véges növekmény képlettel . Általában a következőkkel rendelkezünk (lásd a binomiális együtthatókat ):

d^{n}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h^{n))}\sum _{m=0}^{n}(- 1)^{m}{n\válasszon m}f(x+(nm)h).

Formálisan a pozitív szám megszorítását eltávolítva természetes, hogy meghatározzuk: $n$

\mathbb {D} ^{q}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h^{q}}}\sum _{0\leqslant m<\ infty }(-1)^{m}{q \choose m}f(x+(qm)h).

Ez a Grunwald-Letnikov differenciálintegrál definíciója.

Újabb bejegyzés

A definíció egyszerűbben is átírható a jelölés bevezetésével:

\Delta _{h}^{q}f(x)=\sum _{0\leqslant m<\infty }(-1)^{m}{q \choose m}f(x+(qm) h).

Ekkor a definíció a következő formát ölti:

\mathbb {D} ^{q}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\Delta _{h}^{q}f(x)}{h^{q }}}.

Linkek

Oldham, K. and Spanier, J. The Fractional Calculus - Kiadó: Academic Press, 1974. - 234 p. — ISBN 0-12-52555-0-0 .