Riemann differenciálegyenlet

A Riemann differenciálegyenlet a hipergeometriai egyenlet általánosítása, amely lehetővé teszi, hogy szabályos szinguláris pontokat kapjunkbárhol a Riemann-szférán . Bernhard Riemann matematikusról kapta a nevét .

Definíció

A Riemann-differenciálegyenletet a következőképpen definiáljuk

{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {1-\alpha -\alpha '}{za}}+{\frac {1-\beta - \beta '}{zb}}+{\frac {1-\gamma -\gamma '}{zc}}\jobbra]{\frac {dw}{dz}}

+\left[{\frac {\alpha \alpha '(ab)(ac)}{za))+{\frac {\beta \beta '(bc)(ba)}{zb))+{\frac { \gamma \gamma '(ca)(cb)}{zc}}\right]{\frac {w}{(za)(zb)(zc)}}=0.

Szabályos szinguláris pontjai a , b és c lesznek . Fokozatuk és , és , illetve . Megfelelnek a feltételnek $\alpha$ $\alpha '$ $\beta$ $\béta '$ $\gamma$ $\gamma$

\alpha +\alpha '+\beta +\beta '+\gamma +\gamma '=1.

Az egyenlet megoldásai

A Riemann-egyenlet megoldásait a Riemann P-szimbólum segítségével írjuk le

w=P\left\{{\begin{mátrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{mátrix}}\ jobb\}

A szokásos hipergeometrikus függvény így írható fel

\;_{2}F_{1}(a,b;c;z)=P\left\{{\begin{mátrix}0&\infty &1&\;\\0&a&0&z\\1-c&b&c-ab&\;\ vége{mátrix}}\jobbra\}

A P-függvények számos azonosságnak engedelmeskednek, amelyek közül az egyik lehetővé teszi a hipergeometrikus függvények általánosítását. Mégpedig a kifejezés

P\left\{{\begin{mátrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{mátrix}}\jobbra\ }=\left({\frac {za}{zb}}\jobbra)^{\alpha }\left({\frac {zc}{zb}}\jobbra)^{\gamma }P\left\{{ \begin{mátrix}0&\infty &1&\;\\0&\alpha +\beta +\gamma &0&\;{\frac {(za)(cb)}{(zb)(ca)}}\\\alpha ' -\alpha &\alpha +\beta '+\gamma &\gamma '-\gamma &\;\end{mátrix}}\jobbra\}

lehetővé teszi, hogy az egyenlet megoldását alakba írjuk

w=\left({\frac {za}{zb}}\right)^{\alpha }\left({\frac {zc}{zb}}\right)^{\gamma }\;_{2} F_{1}\left(\alpha +\beta +\gamma ,\alpha +\beta '+\gamma ;1+\alpha -\alpha ';{\frac {(za)(cb)}{(zb) (ca)}}\jobbra)

Möbius transzformáció

A P-függvény egyszerű szimmetriával rendelkezik a Möbius-transzformációhoz , azaz a GL(2, C ) csoporthoz , vagy ezzel egyenértékűen a Riemann-gömb konformális leképezéséhez . Az önkényesen kiválasztott négy komplex szám A , B , C és D a feltételnek eleget téve határozza meg az összefüggéseket $AD-BC\neq 0$

u={\frac {Az+B}{Cz+D}}\quad {\text{ and }}\quad \eta ={\frac {Aa+B}{Ca+D}}

és

\zeta ={\frac {Ab+B}{Cb+D}}\quad {\text{ és }}\quad \theta ={\frac {Ac+B}{Cc+D}}.

Aztán az egyenlőség

P\left\{{\begin{mátrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{mátrix}}\jobbra\ }=P\left\{{\begin{mátrix}\eta &\zeta &\theta &\;\\\alpha &\beta &\gamma &u\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\ ;\end{mátrix}}\jobbra\}

Irodalom

Milton Abramowitz és Irene A. Stegun, szerk., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables (Dover: New York, 1972)
- 15. fejezet Hipergeometriai függvények
  - 15.6. szakasz Riemann-féle differenciálegyenlet