Differenciális befogadás (matematika)

A differenciálegyenlet a differenciálegyenlet fogalmának általánosítása :

{\frac {dx}{dt}}\in F(t,x),\qquad (*)

ahol a jobb oldal (*) egy többértékű leképezés , amely minden változópárt egy nem üres térbeli kompakt halmazhoz társít. A differenciális zárvány (*) megoldását általában abszolút folytonos függvénynek nevezik, amely kielégít egy adott zárványt szinte minden értékre.. A megoldás ilyen definíciója elsősorban a differenciális zárványok szabályozáselméleti alkalmazásaihoz kapcsolódik. $t\in \mathbb {R}$ $x \in \mathbb{R}^n$ $F(t,x)$ $\mathbb{R}^n.$ $x(t),$ $t.$

A differenciális zárványok elméletének eredete általában a francia matematikus Marchaud és a lengyel matematikus , Stanislaw Zaremba nevéhez kötődik (az 1930-as évek közepén készült munkák), azonban széles körű érdeklődés irántuk csak a Pontryagin maximum elvének felfedezése után kelt fel. és a hozzá kapcsolódó optimális szabályozás elméletének intenzív fejlesztése. A differenciálzárványokat eszközként is használják a nem folytonos jobb oldali differenciálegyenletek tanulmányozására ( A.F. Filippov ), valamint a differenciáljátékok elméletében ( N.N. Krasovskii ).

Differenciálzárványok összekapcsolása vezérelt rendszerekkel

Vegyünk egy ellenőrzött rendszert

{\frac {dx}{dt}}=f(t,x,u),\quad u(t)\in U,\qquad (**)

ahol van valami kompakt részhalmaz. A rendszer (**) differenciális befoglalásként (*) írható fel a beállítással . Meglehetősen általános feltételezések szerint egy ellenőrzött rendszer (**) egyenértékű a differenciális befogadással (*), azaz. minden zárványoldathoz (*) van olyan megengedhető vezérlő , hogy a függvény ezzel a vezérlővel a rendszer pályája lesz (**). Ezt az állítást A.F. lemmájának nevezik. Filippov. ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{m))$ ${\displaystyle F(t,x)=f(t,x,U)=\{f(t,x,u)\ :\ \all u\in U\))$ $x(t)$ $u(t)\in U,$ $x(t)$

Kapcsolódó fogalmak

A kontingencia ( kontingens derivált ) és a paratingencia az 1930-as években bevezetett derivált fogalmának általánosításai .

Egy vektorfüggvény kontingenciája egy pontban a sorozatok összes határpontjának halmaza $x(t)$ $t_0$ ${\textrm {Cont}}\ x(t_{0})$

{\frac {x(t_{i})-x(t_{0})}{t_{i}-t_{0}}},\quad t_{i}\to t_{0},\ quad i=1,2,\ldots

Egy vektorfüggvény egy pontban való partingenciája a sorozatok összes határpontjának halmaza $x(t)$ $t_0$ ${\textrm {Parat))\ x(t_{0})$

{\frac {x(t_{i})-x(t_{j})}{t_{i}-t_{j}}},\quad t_{i}\to t_{0},\ quad t_{j}\to t_{0},\quad i,j=1,2,\ldots

A kontingencia és a partingencia a többértékű leképezés példái . Például egy pontban lévő függvény esetén a halmaz két pontból áll: és a halmaz egy szakasz $x(t)=|t|$ $t_{0}=0$ ${\textrm {Cont}}\ x(0)$ $\pm1,$ ${\textrm {Parat))\ x(0)$ $[-1,+1].$

Általában mindig . Ha van közönséges derivált, akkor és ha a közönséges derivált a pont valamely szomszédságában létezik, és magában ebben a pontban folytonos, akkor . ${\textrm {Cont}}\subset {\textrm {Parat}}$ $x'(t_{0}),$ ${\textrm {Cont}}\ x(t_{0})=x'(t_{0}),$ $x'(t)$ $t_0$ ${\textrm {Cont}}\ x(t_{0})={\textrm {Parat}}\ x(t_{0})=x'(t_{0})$

Irodalom

Borisovich Yu. G., Gelman B. D., Myshkis A. D. , Obukhovskiy V. V. Bevezetés a többértékű leképezések és differenciális zárványok elméletébe, – Bármelyik kiadás.
Blagodatskikh V. I. Bevezetés az optimális szabályozásba, Felsőiskola, Moszkva, 2001.
Blagodatskikh V. I., Filippov A. F. Differenciális zárványok és optimális szabályozás , - Tr. MIAN, 169. kötet (1985).
Ioffe A. D., Tikhomirov V. M. Az extrém problémák elmélete, Fizmatlit, Moszkva, 1974.
A. F. Filippov . Az optimális szabályozás néhány kérdésében. - A Moszkvai Állami Egyetem közleménye, Matem. és mech., N2 (1959).
A. F. Filippov. Differenciálegyenletek nem folytonos jobb oldallal. - M .: Nauka, 1985.
A. cellina . MEGTEKINTÉS A KÜLÖNBÖZŐ BEVÉTELEKRE , -Rend . Sem. Mat. Univ. Pál Torino – Vol. 63, 3 (2005).