Differenciál Galois elmélet

A Galois-féle differenciálelmélet a matematikának egy olyan ága, amely a differenciálegyenletek Galois-csoportjait tanulmányozza .

Háttér és fő ötlet

Az 1830-as években Liouville megalkotta az elemi függvények integrációjának elméletét , amelynek fontos eredménye az volt, hogy bebizonyította, hogy az elemi függvények nem vehetnek fel olyan függvények integráljait, mint pl.

f(x)=e^{-x^{2)),

f(x)={\frac {\sin x}{x)),

f(x)=x^{x},

Szem előtt kell tartani, hogy az elemi függvény fogalma csak konvenció. Ha az elemi függvények osztályához hibafüggvényt adunk , akkor a függvény antideriváltja elemivé válik. Ennek ellenére az elemi függvények osztályát korlátlanul bővíthetjük így, de mindig lesznek olyan függvények, amelyek antideriváltjai nem elemiek. $f(x)=e^{-x^{2))$ .

Elképzeléseinek a 20. század elején végzett általánosítása a Galois-féle differenciálelmélet megalkotásához vezetett , amely különösen lehetővé teszi annak kiderítését, hogy van-e egy függvénynek antideriváltja, amely elemi függvényekkel fejeződik ki. . A differenciál-Galois-elmélet a Galois-elméletre épül . Az algebrai Galois-elmélet algebrai mezők kiterjesztését vizsgálja , és a differenciális Galois-elméletet - a differenciálmezők kiterjesztéseit, vagyis azokat a mezőket , amelyekre a származtatást bevezetik . A differenciál-Galois-elméletben sok minden hasonlít az algebrai Galois-elmélethez. A lényeges különbség ezek között a konstrukciók között, hogy a differenciális Galois-elméletben Lie mátrixcsoportokat használnak , míg az algebrai Galois-elméletben véges csoportokat. $\mathcal{D}$

Definíciók

Minden differenciálható mezőnek van egy almezője $F$

\operatorname {Con} F=\{f\in F\mid {\mathcal {D}}f=0\},

amelyet az állandók mezőjének nevezünk . Két differenciálmező esetén egy mezőt logaritmikus kiterjesztésnek nevezünk , ha egy egyszerű transzcendentális kiterjesztés (azaz valamilyen transzcendentális ), így $F$ $F$ $G$ $G$ $F$ $G$ $F$ $G=F(t)$ $t$

{\mathcal {D}}t={\frac {{\mathcal {D}}s}{s}}

egyesek számára .

s\in F

Ez egyfajta logaritmikus derivált . Az intuitív megértés érdekében felfoghatjuk úgy is, mint egy némelyikének logaritmusát , és akkor ez a feltétel hasonló a komplex függvény deriváltjának felvételére vonatkozó szabályhoz . Szem előtt kell tartani, hogy a logaritmus nem feltétlenül az egyetlen; több különböző "logaritmikus" kiterjesztés is létezhet vele együtt . Hasonlóképpen, az exponenciális kiterjesztés olyan transzcendentális kiterjesztést jelent, amely kielégíti a képletet $t$ $s$ $F$ $F$ $F$

{\mathcal {D}}t=t{\mathcal {D}}s.

Így ezt az elemet a -ból származó kitevőnek tekinthetjük . Végül elemi differenciálbővítésnek nevezzük , ha van egy véges részmezők lánca -tól -ig , ahol minden kiterjesztése algebrai, logaritmikus vagy exponenciális. $s$ $F$ $G$ $F$ $F$ $G$

Példák

Egy változó racionális függvényeinek mezeje , ehhez a változóhoz képest differenciálva. Ennek a mezőnek a konstansai komplex számok . $\mathbb {C} (x)$ $\mathbb {C}$

Főtétel

Tegyük fel, hogy a és olyan differenciálmezők, amelyekre az és elemi differenciális kiterjesztése . Legyen , és ezen felül (vagyis tartalmazza az antideriváltat ). Aztán vannak ilyenek $F$ $G$ $\operatorname {Con} F=\operatorname {Con} G$ $G$ $F$ $a\in F$ $y\in G$ ${\mathcal {D}}y=a$ $G$ $a$ $c_{1},\dots ,c_{n}\in \operatorname {Con} F$ $u_{1},\dots ,u_{n},v\in F$

a=c_{1}{\frac {{\mathcal {D}}u_{1}}{u_{1}}}+\dots +c_{n}{\frac {{\mathcal {D} }u_{n}}{u_{n}}}}+{\mathcal {D}}v.

Más szóval, csak azoknak a függvényeknek van „elemi antideriváltja”, amelyek a tételben jelzett formájúak. Így a tétel kimondja, hogy csak az elemi antideriválták "egyszerű" függvények, plusz az egyszerű függvények véges számú logaritmusa.

Linkek