Dinamikus rendszer

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. június 14-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 5 szerkesztést igényelnek .

A dinamikus rendszer  olyan elemek halmaza , amelyeknél a rendszer minden elemének fázisterében meghatározott idő és helyzet közötti funkcionális kapcsolat . Ez a matematikai absztrakció lehetővé teszi a rendszerek időbeni fejlődésének tanulmányozását és leírását.

Egy dinamikus rendszer állapotát az idő bármely pillanatában az állapottér egy bizonyos pontjának megfelelő valós számok (vagy vektorok) halmaza írja le . Egy dinamikus rendszer evolúcióját egy determinisztikus függvény határozza meg, vagyis egy adott időintervallum elteltével a rendszer az aktuális állapottól függően meghatározott állapotba kerül.

Bevezetés

A dinamikus rendszer valamilyen objektum, folyamat vagy jelenség matematikai modellje , amelyben a "fluktuációkat és minden más statisztikai jelenséget" figyelmen kívül hagynak. [egy]

A dinamikus rendszer állapottartó rendszerként is ábrázolható . Ezzel a megközelítéssel a dinamikus rendszer (mint egész) írja le valamely folyamat dinamikáját, nevezetesen: a rendszer egyik állapotból a másikba való átmenet folyamatát. Egy rendszer fázistere a dinamikus rendszer összes megengedett állapotának összessége. Így egy dinamikus rendszert a kiindulási állapota és az a törvény, amellyel a rendszer a kiindulási állapotból a másikba lép át.

Megkülönböztetni a diszkrét idejű és a folyamatos idejű rendszereket.

A hagyományosan kaszkádoknak nevezett diszkrét idejű rendszerekben a rendszer viselkedését (vagy ezzel egyenértékűen a rendszer pályáját a fázistérben) állapotok sorozata írja le. A folytonos idejű rendszerekben, amelyeket hagyományosan áramlásoknak neveznek , a rendszer állapotát a valós vagy összetett tengely minden egyes időpontjára meghatározzák. A kaszkádok és az áramlások a szimbolikus és topológiai dinamika fő szempontjai.

Egy dinamikus rendszert (diszkrét és folytonos idővel egyaránt) gyakran egy autonóm differenciálegyenlet -rendszer ír le, amely valamilyen tartományban adott, és ott kielégíti a létezési tétel feltételeit és a differenciálegyenlet megoldásának egyediségét. A dinamikus rendszer egyensúlyi helyzetei a differenciálegyenlet szinguláris pontjainak, a zárt fázisgörbék pedig a periodikus megoldásainak felelnek meg.

A dinamikus rendszerek elméletének fő tartalma a differenciálegyenletek által meghatározott görbék vizsgálata . Ez magában foglalja a fázistér pályákra bontását és e pályák korlátozó viselkedésének tanulmányozását: az egyensúlyi helyzetek keresését és osztályozását, a vonzás ( attraktorok ) és taszító ( repellerek ) halmazok (sokaságok) kiválasztását. A dinamikus rendszerek elméletének legfontosabb fogalmai az egyensúlyi állapotok stabilitása (azaz a rendszer azon képessége, hogy a kezdeti feltételek kis változásai mellett tetszőlegesen hosszú ideig az egyensúlyi helyzet közelében vagy egy adott sokaságon maradjon) és érdesség (azaz a tulajdonságok megőrzése kis változtatásokkal magában a matematikai modellben; „ Durva rendszer  az, amelynek a mozgás minőségi jellege nem változik a paraméterek kellően kis változásával. [2] [1]

A valószínűségi-statisztikai reprezentációk bevonása a dinamikus rendszerek ergodikus elméletébe egy invariáns mértékkel rendelkező dinamikus rendszer koncepciójához vezet .

A dinamikus rendszerek modern elmélete olyan tanulmányok gyűjtőneve, ahol a matematika különböző ágainak módszereit széles körben alkalmazzák és hatékonyan kombinálják: topológia és algebra, algebrai geometria és mértékelmélet, differenciálalakok elmélete, szingularitások és katasztrófák elmélete.

A dinamikus rendszerek elméletének módszerei a természettudomány más ágaiban is keresettek, mint például a nem egyensúlyi termodinamika , a dinamikus káoszelmélet , a szinergetika .

Definíció

Legyen  tetszőleges sima sokaság .

Egy sima sokaságon definiált dinamikus rendszer egy parametrikus formában írt leképezés , ahol , amely egy differenciálható leképezés, és  a tér azonos leképezése . Stacionárius reverzibilis rendszerek esetén az egyparaméteres család a topológiai tér transzformációinak csoportját alkotja , ami azt jelenti, hogy az azonosság mindenre érvényes .

A leképezés differenciálhatóságából következik, hogy a függvény az idő differenciálható függvénye, grafikonja a kiterjesztett fázistérben helyezkedik el, és a dinamikus rendszer integrálpályájának (görbéjének) nevezzük . A térre való vetületét , amelyet fázistérnek nevezünk , egy dinamikus rendszer fázispályájának (görbéjének) nevezzük.

Egy stacionárius dinamikus rendszer megadása egyenértékű a fázistér fázispályákra való felosztásával. Egy dinamikus rendszer megadása általában egyenértékű a kiterjesztett fázistér integrált trajektóriákra történő particionálásával.

A koordináták változása a fázisterek diffeomorfizmusa (ha a szerkezet sima) vagy homeomorfizmusa (topológiai szempontból). Lehetőség van egy ekvivalenciakészlet meghatározására a különböző koordinátaosztályokhoz társított dinamikus rendszerek között. A pályák szerkezetének problémája ebben az esetben felfogható a dinamikus rendszerek osztályozásának problémájaként egészen az ekvivalencia relációkig.

Dinamikus rendszerek meghatározásának módszerei

Egy dinamikus rendszer meghatározásához le kell írni a fázisterét , az időpontok halmazát, és néhány szabályt , amely leírja a pontok mozgását a fázistérben az időben. Az időpillanatok halmaza lehet egy valós sor intervalluma (akkor azt mondja, hogy az idő folytonos ), vagy egész számok vagy természetes számok halmaza ( diszkrét idő). A második esetben egy fázistérpont „mozgása” inkább pillanatnyi „ugrások” egyik pontból a másikba: egy ilyen rendszer pályája nem sima görbe, hanem egyszerűen pontok halmaza, és általában ún. egy pálya . Ennek ellenére a külső különbség ellenére szoros kapcsolat van a folytonos és diszkrét idejű rendszerek között: számos tulajdonság közös ezekben a rendszerosztályokban, vagy könnyen átvihető egyikből a másikba.

Fázisfolyamok

Legyen a fázistér többdimenziós tér vagy benne egy régió, az idő pedig folytonos. Tegyük fel, hogy ismerjük azt a sebességet, amellyel a fázistér egyes pontjai mozognak. Más szavakkal, a sebességvektor-függvény ismert . Ekkor a pont pályája az autonóm differenciálegyenlet megoldása lesz a kezdeti feltétellel . Az így definiált dinamikus rendszert egy autonóm differenciálegyenlet fázisáramának nevezzük.

Cascades

Legyen  tetszőleges halmaz, és  a halmaz valamilyen leképezése önmagára. Tekintsük ennek a leképezésnek az iterációit , vagyis a fázistér pontjaira történő ismételt alkalmazásának eredményeit. Dinamikus rendszert határoznak meg fázistérrel és sok időpillanattal . Valójában azt feltételezzük, hogy egy tetszőleges pont átmegy egy időpontba . Aztán idővel ez a pont egy pontba kerül , és így tovább.

Ha a leképezés reverzibilis, akkor lehet definiálni fordított iterációkat : , stb. Így kapunk egy rendszert egy időpontkészlettel .

Példák

egy folyamatos idejű dinamikus rendszert határoz meg, amelyet "harmonikus oszcillátornak" neveznek. Ennek fázistere a sík , ahol  a pontsebesség . A harmonikus oszcillátor különféle oszcillációs folyamatokat modellez, például a rugó terhelésének viselkedését. Fázisgörbéi ellipszisek, amelyek középpontja nulla.

A dinamikus rendszerek elméletének kérdései

Mivel egy dinamikus rendszer valamilyen feladata van, távolról sem mindig lehetséges a pályáit explicit formában megtalálni és leírni. Ezért a rendszer általános viselkedésével kapcsolatos egyszerűbb (de nem kevésbé értelmes) kérdéseket általában megfontolják. Például:

  1. A rendszernek vannak-e zárt fázisgörbéi, vagyis az evolúció során vissza tud-e térni kiinduló állapotába?
  2. Hogyan vannak elrendezve a rendszer invariáns sokasága (melyek speciális esete zárt pályák)?
  3. Hogyan működik a rendszer attraktorja , vagyis a fázistér halmaza, amelyre a pályák „többsége” hajlik?
  4. Hogyan viselkednek a közeli pontokból kilőtt pályák – közel maradnak, vagy idővel jelentős távolságra távolodnak el?
  5. Mit mondhatunk egy bizonyos osztályból származó "tipikus" dinamikus rendszer viselkedéséről?
  6. Mit mondhatunk az adotthoz "közeli" dinamikus rendszerek viselkedéséről?

Lásd még

Jegyzetek

  1. 1 2 Andronov, 1981 , p. 18-19.
  2. Andronov, 1955 , p. 3-19.

Irodalom

Linkek