Homeomorfizmus

A homeomorfizmus ( görögül ὅμοιος - hasonló, μορφή - forma) a topológiai terek egy az egyhez és kölcsönösen folytonos leképezése . Más szóval, ez egy bijekció , amely két tér topológiai struktúráit köti össze, mivel a bijekció folytonossága mellett a nyílt részhalmazok képei és inverz képei nyílt halmazok, amelyek meghatározzák a megfelelő terek topológiáit.

A homeomorfizmussal összekötött terek topológiailag megkülönböztethetetlenek. Azt mondhatjuk, hogy a topológia a homeomorfizmus alatt változatlan objektumok tulajdonságait vizsgálja.

A topológiai terek kategóriájában csak a folytonos leképezéseket vesszük figyelembe, így ebben a kategóriában az izomorfizmus is homeomorfizmus.

Definíció

Legyen és két topológiai tér . Egy függvényt homeomorfizmusnak nevezünk, ha egy az egyhez , és maga a függvény és az inverze is folytonos . $(X,\mathcal{T}_X)$ $(Y,\mathcal{T}_Y)$ $f:X \-ig$ $f$ $f^{-1}$

Kapcsolódó definíciók

A tereket ebben az esetben homeomorfnak vagy topológiailag egyenértékűnek is nevezzük . $x$ $Y$
- Ezt a kapcsolatot általában jelölik . $X\simeq Y$
A tér egy tulajdonságát topologikusnak nevezzük, ha az homeomorfizmusok alatt megmarad. Példák a topológiai tulajdonságokra: minden típusú szétválaszthatóság topológiai terekben, összekapcsoltság és szétkapcsolás , lineáris kapcsolódás , tömörség , egyszerűen összekapcsoltság , metrizálhatóság , valamint a felsorolt tulajdonságok lokális analógjai (lokális kapcsolódás, lokális lineáris kapcsolódás, lokális tömörség, lokális egyszerűen összekapcsoltság , lokális metrizálhatóság), topológiai sokaságnak való tulajdonság , véges-dimenziós, végtelen-dimenziós és topológiai sokaságok dimenziója stb.
A terek lokális homeomorfizmusa egy folytonos szürjektív térkép , ha minden pontnak van egy olyan környéke , amelyre a korlátozás a és a kép közötti homeomorfizmus . $f:X\Y-ig$ $x\X-ben$ $U\ni x$ $f$ $U$ $f|_{U}:U\to f(U)$ $U$ $f(U)$
- Példa. A leképezés egy lokális homeomorfizmus a valódi egyenes és a kör között . Ezek a terek azonban például nem homeomorfok, mert a kör kompakt, míg a vonal nem. $x\to (\cos x,\sin x)$ ${\mathbb {R} }$ $S^{1}$

Homeomorfizmus tétel

Legyen egy intervallum a számegyenesen (nyitott, félig nyitott vagy zárt). Legyen bijekció. Akkor a homeomorfizmus akkor és csak akkor, ha szigorúan monoton és folyamatos $|a,b|\részhalmaz \mathbb{R}$ $f:|a,b| \to f\bigl( |a,b| \bigr)\subset \R$ $f$ $f$ $|a,b|.$

Példa

Egy tetszőleges nyitott intervallum homeomorf az egész számegyenesen . A homeomorfizmust például a képlet adja meg $(a,b) \subset \mathbb{R}$ $\mathbb {R}$ $f:(a,b) \to \mathbb{R}$

f(x) = \mathrm{ctg}\left(\pi\frac{xa}{ba}\right).

Egy intervallum homeomorf a diszkrét topológiában lévő szegmenshez képest , de nem homeomorf a standard számegyenes topológiában. $(0, \; 1)$ $[0, \; egy]$

Lásd még

Jegyzetek

Irodalom

Zorich V. A. Matematikai elemzés. - M . : Nauka , 1984. - T. 2. - S. 41.
Vasziljev V. A. Bevezetés a topológiába. - M. : FAZIS, 1997. - Szám. 3. - xii + 132 p. - (Matematikus diák könyvtára). — ISBN 5-7036-0036-7 .
Timofeeva NV Differenciálgeometria és a topológia elemei . - YaGPU , 2007.
Boltyansky V.G. , Efremovich V.A. Vizuális topológia. — M .: Nauka, 1982. — 160 p.

Linkek

Hazewinkel, Michiel, szerk. (2001), Homeomorphism , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4