Hisztogram (statisztika)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt hozzászólók, és jelentősen eltérhet a 2016. április 27-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzésekhez 10 szerkesztés szükséges .

A hisztogram a matematikai statisztikában az egyik grafikus módszer egy valószínűségi változó értékeinek eloszlási sorozatának tanulmányozására. [B:1]

Az eloszlási sorozatok tanulmányozásának grafikus módszerei közül a következőket jelöltük meg [1] :

pontozási módszer, (aminek eredményeként szóródási diagramot kapunk );
a téglalapok módszere ( lépcsős sokszög , oszlopdiagram vagy hisztogram megadása);
egyenesek módszere ( frekvenciák sokszögének megadása );
összeggörbe (halmozott frekvenciák sorozatának képe);
egy valószínűségi változó megfigyelt értékeinek képe (sorszámuk az abszcissza mentén van ábrázolva);
ogive (a megfigyelés során kapott valószínűségi változó értékei növekvő sorrendben vannak elrendezve; új sorszámuk az abszcissza tengely mentén van ábrázolva).

A lépcsős poligonokat és a frekvenciapoligonokat összefoglalóan eloszlási sokszögeknek nevezzük . A szóródási diagram, a lépcsős sokszög és a frekvencia sokszög a legkényelmesebb. [egy]

A kétdimenziós esetre az eloszlási sorozat helyett egy eloszlási táblázatot készítünk, és a megfelelő grafikus konstrukciót prizmogramnak nevezzük . [egy]

Definíció

A GOST szerint

A GOST R 50779.10-2000 a következő meghatározásokat kínálja:

2.17. hisztogram
Egy kvantitatív jellemző gyakorisági eloszlásának grafikus ábrázolása, amelyet olyan összefüggő téglalapok alkotnak, amelyek alapjai osztályintervallumok, és amelyek területei arányosak ezen osztályok frekvenciáival.

2.18. oszlopdiagram
Egy diszkrét valószínűségi változó gyakorisági eloszlásának grafikus ábrázolása, egyenlő szélességű oszlopokból álló halmaz alkotja, amelyek magassága arányos a frekvenciákkal[D:1]

Alternatív definíció

Legyen egy minta valamilyen eloszlásból . Határozzuk meg a valós vonal partícióját . Hadd $X_{1},\lpontok ,X_{n},\lpontok$ $-\infty <a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{k-1}<a_{k}<\infty$

n_{i}=\sum \limits _{j=1}^{n}\mathbf {1} _{\{X_{j}\in (a_{i-1},a_{i}] \}},\;\quad i=1,\ldots ,k

a th intervallumba eső mintaelemek száma . Ezután egy darabonkénti konstans függvény , amelynek alakja: $én$ ${\tilde {h}}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

{\tilde {h}}(x)={\frac {n_{i}}{n\Delta a_{i}}},\Delta a_{i}=a_{i}-a_{i- 1},\;i=1,\ldots ,k\;

, normalizált hisztogramnak nevezzük.[2]

Tökéletesen folytonos eloszlás hisztogramja

Legyen a valószínűségi változók eloszlása abszolút folytonos , és a valószínűségi sűrűség adja meg . Akkor $X_{i}$ $f(x)$

\forall x\in (a_{i-1},a_{i}],\quad h(x)\,\Delta a_{i}\equiv {\frac {n_{i}}{n} }\to \mathbb {P} (X\in (a_{i-1},a_{i}])\equiv \int \limits _{a_{i-1}}^{a_{i}}f( x)\,dx,\quad i=1,\ldots ,k

valószínű , hogy . [3]

n\to\infty

Eljárás a hisztogram felépítéséhez

A téglalapok módszere szerinti rajzoláskor a vízszintes tengelyt a rangoknak megfelelő egyenlő szegmensekre osztják ; ezekre a szegmensekre, akárcsak az alapokra, egy adott kisülés gyakoriságával arányos magasságú téglalapokat építenek. [négy]

Ismertesse ezt az eljárást részletesebben. Először is, a mintaelem által felvehető értékkészlet több bitre (rekeszre) van osztva. Leggyakrabban ezek az intervallumok azonosak, de ez nem szigorú követelmény. Ezeket az intervallumokat a vízszintes tengelyen ábrázoljuk, majd mindegyik fölé egy téglalapot rajzolunk. Ha minden intervallum azonos lenne, akkor az egyes téglalapok magassága arányos a megfelelő intervallumba eső mintaelemek számával. Ha az intervallumok eltérőek, akkor a téglalap magasságát úgy választjuk meg, hogy területe arányos legyen az ebbe az intervallumba eső mintaelemek számával.

A hisztogram készítéséhez elengedhetetlen az optimális partíció kiválasztása, hiszen az intervallumok növekedésével az eloszlássűrűség becslés részletezettsége csökken, az intervallumok csökkenésével pedig értékének pontossága. Az intervallumok optimális számának kiválasztásához gyakran használják a Sturges-szabályt . $n$

n=1+\lfloor \log _{2}N\rfloor

ahol a mennyiség megfigyeléseinek összes száma, a 2-es bázis logaritmusa és az egész része . $N$ $\log _{2}$ $\lfloor x\rfloor$ $x$

Gyakran előfordul egy szabály is, amely az intervallumok optimális számát a mérések teljes számának négyzetgyökeként becsüli meg:

n=\lfloor {\sqrt {N}}\rfloor

Használat

Az eloszlási sorozatok transzformált formában való ábrázolása szükséges feltétel ezeknek a sorozatoknak az egymással való összehasonlításakor [1] .

A terjesztési sorozatok tanulmányozását nagyban megkönnyíti a grafikus módszer alkalmazása . Az eloszlási sorozatok ábrázolásakor a vízszintes tengelyen a kisülések vagy a valószínűségi változó megfigyelt értékei, a függőleges tengelyen pedig a bitfrekvenciák, illetve a megfigyelt frekvenciák láthatók [1] . $X(j)$

A hisztogramok felépítését egy valószínűségi változó eloszlássűrűségének empirikus becslésére használják [5] .

A legáltalánosabb formában az egyik legfontosabb feladat a következőképpen fogalmazódik meg: adott szignifikancia szinten teszteljük azt a hipotézist, hogy a hisztogramon bemutatott eloszlás monomodális [A: 1] .

Használati példák

A hisztogram elemzést a geológusok hagyományosan a geológiai problémák egyértelmű és informatív megoldásának tekintik, mivel a hisztogram elemzés lehetővé teszi a statisztika nyelvén megfogalmazott geológiai hipotézisek tesztelését [A: 1] .

A kardiológiában a hisztogram felépítése és leírása a szívfrekvencia variabilitás elemzésének kötelező geometriai módszere, amelyet az 1996-os [A: 2] [B: 2] szabványok javasoltak . A pulzusszám hisztogramok leírásának további módjaként a háromszög értelmezési módszereket alkalmazzák , mint például a St. George index és a háromszög index [6] .

A gyártás során a technológiai folyamat állapotának elemzésekor a hisztogramok felépítését hatékony módszernek tekintik a helyzet felmérésére és az elemzés elvégzésére a technológiai folyamat stabilitásának tanulmányozásának első szakaszában, és szintén a technológiai folyamat stabilitásának vizsgálatának első szakaszában. hatékony minőségirányítási eszközök a késztermék minőségellenőrzésének és a technológiai folyamat aktuális állapotának elemzésének szakaszában [A :3] .

Lásd még

Mintaeloszlási függvény

Jegyzetek

↑ 1 2 3 4 5 Mitropolsky, 1971 , 2. § Sorok és elosztási táblázatok, p. 20-43.
↑
A normalizált hisztogram egy valószínűségi sűrűség. Különösen:
- $h(x)\geq 0,\quad \forall x\in \mathbb {R}$ .
- $\int \limits _{-\infty }^{\infty }h(x)\,dx=1$ .
↑ Így az ábra normalizált hisztogram alatti területe , amelyet az intervallum korlátoz , megközelíti a valószínűségi változók ezen intervallumán belüli értékek elfogadásának valószínűségét . A normalizált hisztogram azonban nem konvergál pontonként ezen valószínűségi változók elméleti eloszlási sűrűségéhez. $[a_{i-1},a_{i}]$ $X_{j}$
↑ Mitropolsky, 1971 , p. 32.
↑ A hisztogram felépítéséhez egy valószínűségi változó megfigyelt változási tartományát több intervallumra osztjuk, és kiszámítjuk az egyes intervallumokba eső mérések arányát. Az egyes részesedések értékét annak a valószínűségének becsléseként tekintjük, hogy egy valószínűségi változó a megfelelő intervallumba esik. Hibás a valószínűségi sűrűségről beszélni a hisztogram kontextusában, mivel a hisztogrammozás bármilyen típusú eloszlást diszkrét eloszlással alakít át (egy adott intervallumba eső eseményt vesszük figyelembe, amelynek száma megszámlálható), diszkrét valószínűségi változóra pedig nincs valószínűségi sűrűségfüggvény.
↑ Ryabykina, 1998 , 3.6. A ritmogramok elemzésének geometriai módszerei, p. 43-49.

Irodalom

Könyvek

↑ Mitropolsky A. K. . Statisztikai számítások technikája. - 2. kiadás, átdolgozva. és további .. - M . : Nauka, 1971. - 576 p. - (Egy mérnök fizikai-matematikai könyvtára). - 19 500 példány.
↑ Ryabykina G.V. , Sobolev A.V. A pulzusszám változékonysága. - M . : "Star'Ko", 1998. - 200 p. — ISBN 5-85493-032-3 .

Cikkek

↑ 1 2 Tkachev Yu. A. Geológiai jellemzők hisztogramjainak tanulmányozása számítógépes modellezéssel // Az Orosz Tudományos Akadémia Uráli Kirendeltsége Komi Tudományos Központjának Földtani Intézetének közleménye: folyóirat. - 2004. - 2. sz . - S. 7-11 . (Orosz)
↑ Az Európai Kardiológiai Társaság és az Észak-Amerikai Stimulációs és Elektrofiziológiai Társaság munkacsoportja. A pulzusszám változékonysága. Mérési szabványok, fiziológiai értelmezés és klinikai használat Bulletin of Arrhythmology : Journal . - 1999. - 11. sz . - S. 53-78 . (Orosz)
↑ Abdullin I. A. , Beloborodova O. I. , Laptev N. I. , Moskvicheva E. L. , Goryainov A. D. Statisztikai módszerek alkalmazása a formázott töltések előállításának technológiai folyamatának értékelésére // Bulletin of the Kazan Technological University: folyóirat. - 2010. - 12. sz . - S. 477-482 . (Orosz)

Normatív dokumentumok

↑ GOST R 50779.10-2000 (ISO 3534-1-93) Statisztikai módszerek. A statisztika valószínűsége és alapjai. Kifejezések és meghatározások . docs.cntd.ru. Letöltve: 2020. május 27. Az eredetiből archiválva : 2020. május 19. (határozatlan)

Linkek

Canva online oszlopdiagram -készítő
Online diagramkészítő eszköz a ChartBlocks webszolgáltatáshoz