Selberg-féle zéta-függvény sejtése

A Selberg-sejtés egy matematikai hipotézis a ζ(1/2 + it ) Riemann-zéta-függvény nullpontjainak sűrűségéről, amelyet Atle Selberg terjesztett elő .

A Selberg -sejtés a második Hardy–Littlewood-sejtés erõsítése . Selberg előadta sejtését, bizonyítva a Hardy-Littlewood sejtést.

Történelem és megfogalmazás

1942-ben Atle Selberg felállította [1] azt a hipotézist, hogy egy fix feltételhez kellően nagy és , az intervallum tartalmazza a Riemann-zéta-függvény legalább valós nulláit . Selberg bebizonyította az állítást az esetre . $\varepsilon$ $0<\varepszilon<0,001$ $T$ $H=T^{{a+\varepszilon }}$ $a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}$ $(T,T+H)$ $cH\ln T$ $\zeta {\Bigl (}{\tfrac {1}{2))+it{\Bigr )}$ $H\geq T^{{1/2+\varepsilon }}$

A sejtés bizonyítása

1984-ben A. A. Karatsuba bebizonyította a Selberg-sejtést [2] [3] [4] .

A. Selberg és A. A. Karatsuba becslései a növekedési sorrendben javíthatatlanok . $T\to +\infty$

1992-ben A. A. Karatsuba bebizonyította [5] , hogy a Selberg-sejtés analógja „majdnem minden” intervallumra érvényes , ahol egy tetszőlegesen kis fix pozitív szám. A Karatsuba által kifejlesztett módszer lehetővé teszi a Riemann-zéta-függvény nulláinak vizsgálatát a kritikus egyenes "ultra-rövid" intervallumain, vagyis azokon az intervallumokon , amelyek hossza lassabban növekszik, mint bármely, akár tetszőlegesen kicsi fok . Konkrétan bebizonyította, hogy bármely adott szám esetén a feltétellel szinte minden intervallum tartalmazza a függvény legalább nulláját . Ez a becslés nagyon közel áll a Riemann-hipotézisből következőhöz . $(T,T+H]$ $H=T^{{\varepszilon }}$ $\varepsilon$ $(T,T+H]$ $H$ $T$ $\varepsilon$ $\varepszilon_{1}$ $0<\varepsilon ,\varepsilon _{{1}}<1$ $(T,T+H]$ $H\geq \exp {\{(\ln T)^{{\varepszilon }}\}}$ $H(\ln T)^{{1-\varepszilon _{{1}}}}$ $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$

Jegyzetek

↑ Selberg, A. A Riemann-féle zéta-függvény nulláin (határozatlan) // Shr. Norske Vid. Akad. Oslo. - 1942. - 10. sz . - S. 1-59 .
↑ Karatsuba, A. A. A ζ(s) függvény nulláin a kritikus vonal rövid időközein // Izvestiya RAN. Matematikai sorozat. : magazin. - 1984. - No. 48:3 . - S. 569-584 . (Orosz)
↑ Karatsuba, A. A. A ζ(1/2 + it) függvény nulláinak eloszlása // Izvesztyija RAN. Matematikai sorozat. . - 1984. - No. 48:6 . - S. 1214-1224 . (Orosz)
↑ Karatsuba, A. A. A Riemann-zéta-függvény nulláiról a kritikus vonalon (neopr.) // Trudy MIAN. - 1985. - 167. sz . - S. 167-178 .
↑ Karatsuba, A. A. A Riemann-zéta-függvény nulláinak számáról, amelyek a kritikus egyenes szinte minden rövid intervallumán fekszenek // Izvesztyija RAN. Matematikai sorozat. : magazin. - 1992. - 56. szám: 2 . - S. 372-397 . (Orosz)