Harmonikus négyes

A pontok harmonikus négyszerese egy olyan projektív egyenes pontjainak négyszerese, amelynek kettős aránya . Ebben az esetben azt is mondják, hogy a és a pontok harmonikusan konjugálnak az és írják tekintetében . $(ABCD)=-1$ $C$ $D$ $A,B$ $H(AB,CD)$

A harmonikus egyenesek négyszerese a projektív síkban egy olyan ponton átmenő egyenesek négyszerese , amelyeknél bármely olyan négyes pont , amely egy egyenesen található, harmonikus. Ebben az esetben írjon . $a,b,c,d$ $S$ $A,B,C,D$ $A\in a,B\in b,C\in c,D\in d$ $H(ab,cd)$

Tulajdonságok

Ha egy harmonikus négyes vonalat egy egyenes metszi, akkor ezen az egyenesen egy harmonikus négyes pont jön létre.
Egy teljes négy csúcs mindkét oldalán egy harmonikus négyes pont található.[ pontosítás ]
Egy teljes négy csúcs minden átlóján van egy harmonikus négyes pont.[ pontosítás ]
Az összetett síkon lévő harmonikus pontnégyes ugyanazon az egyenesen vagy körön fekszik, és az ellenkező pontokban lévő érintőpárok egybeesnek az átlóval.

Épület

Bármely három ponthoz, amely ugyanazon az egyenesen fekszik, egy teljes négy csúcs harmonikus tulajdonságait felhasználva megszerkeszthet egy negyedik pontot, így kap egy harmonikus négy pontot.
A fenti ábrán a teljes MLNK négyszög két ellentétes oldalpárjának ML és KN , MK és LN metszéspontja (az egyenes első két A és B pontja), valamint a D és C pontja. az LK és MN átlók metszéspontja ezzel az egyenessel ( AC egyenes ), ezeken a pontokon áthaladva egy harmonikus négy A, B, C, D pontot alkot .
Az utolsó pont felépítését (lásd még az ábrát) teljesen megduplázza a következő [1] tétel : Egy K pontra az ALB háromszög Ceva egyenese (például LD ) és az M alapokat összekötő MN egyenes . Két másik Ceva egyenes AN és BM N , osztja fel harmonikusan a szemközti AB oldalt .

Példa harmonikus pontnégyesre

A háromszög egyik csúcsában a belső és a külső szög felezője metszi az ezzel a csúcstal ellentétes oldalt, és ennek megfelelően annak folytatását két pontban, amelyek ennek az oldalnak a két végével együtt harmonikus négyes pontokat alkotnak [2 ] .
Egy háromszög oldalának közepéhez harmonikusan konjugált pont ennek az oldalnak a végtelenig való kiterjesztésében van [3] .

A harmonikus négyes a kiterjesztett euklideszi síkon

Ha a pont nem megfelelő , akkor a négyes harmonikus, ha a szakasz felezőpontja . ${\displaystyle D_{\infty ))$ ${\megjelenítési stílus A,B,C,D_{\infty ))$ $C$ $AB$
Ha egy teljes négycsúcs és az átlós pontjai nem megfelelőek, akkor ez egy paralelogramma a kiterjesztett euklideszi síkon , és harmonikus tulajdonságaiból következik, hogy átlóinak metszéspontja felezi őket. $ABCD$ ${\displaystyle P_{\infty },Q_{\infty ))$ $ABCD$
Ha - egy teljes négy csúcs, amelynek egy átlós pontja van - nem megfelelő, akkor a kiterjesztett euklideszi síkon - egy trapéz, és harmonikus tulajdonságaiból következik, hogy felezi . $ABCD$ $R_{\infty }=BC\cap AD$ $P=AB\cap CD,Q=AC\cap BD$ $ABCD$ $PQ$ $HIRDETÉS$

Jegyzetek

↑ Zetel S. I. Háromszög új geometriája. Útmutató tanároknak. 2. kiadás. Moszkva: Uchpedgiz, 1962. Tétel a p. 46., 31. §.
↑ Zetel S. I. Háromszög új geometriája. Útmutató tanároknak. 2. kiadás. Moszkva: Uchpedgiz, 1962. Tétel a p. 46., 30. §.
↑ Zetel S. I. Háromszög új geometriája. Útmutató tanároknak. 2. kiadás. M.: Uchpedgiz, 1962. Probléma p. 46., 30. §.

Irodalom

Bazylev, Dunicsev, Ivanitskaya. Geometria, 2. rész - M . : Oktatás, 1975.

Efimov N. V. Magasabb geometria. - 6. kiadás - M. , 1978.

Pevzner S.L. Projektív geometria. - M . : Oktatás, 1980.

Postnikov M. M. Analitikus geometria. – 1973.

H. S. M. Coxeter. Valódi projektív sík / szerk. prof. A. A. Glagoleva. - M. , 1959.