Egyenlő magasságú világítótestek metszéspontjainak koordinátáinak kiszámítása

A világítótestek egyenlő magasságú körei metszéspontjainak koordinátáinak kiszámítása - Gauss által javasolt analitikai módszer a megfigyelő helyének földrajzi koordinátáinak meghatározására két világítótest mért magasságából , valamint azok elhajlásából és óraszögéből , grafikus konstrukciók nélkül. a térkép. A csillagászati navigációban a Somner- módszerrel és az átviteli módszerrel (St. Hilaire-módszer) együtt használják . Ha a megfigyelési idő meghatározása nem lehetséges, a módszer lehetővé teszi a megfigyelő helyének földrajzi szélességének kiszámítását.

Ez a módszer általában nem igényli a számozott hely ismeretét , mivel a harmadik lámpa megfigyelése lehetővé teszi, hogy kiküszöböljük az első kettő helyének meghatározásánál felmerülő kétértelműséget. Ha a harmadik világítótestet nem lehet megfigyelni, a kétértelműséget feloldani, akkor javasolt a megfigyelt világítótestek azimutjainak mérése , hogy összehasonlítsa azokat mindkét metszéspontra számítottakkal. Az azimut felvételének elfogadható pontossága ±10°. $(\varphi _{c};\lambda _{c})$

Kiinduló adatok

Egy bizonyos időpontban a megfigyelés két világítótest magasságát érte el a horizont felett , illetve [1] . Valamint az almanachból az ehhez a pillanathoz kapcsolódó deklinációik és ; és Greenwich óraszögei, és . Az északi deklináció és a keleti hosszúság pozitív értéknek számít , a déli deklináció és a nyugati hosszúság negatív, a számításoknál követni kell a mennyiségek előjeleire vonatkozó konvenciót . $UT_{o}$ ${\displaystyle h_{o1))$ ${\displaystyle h_{o2))$ $\delta _{1}$ $\delta _{2}$ ${\displaystyle t_{G1))$ $t_{G2}$

Ha a kiválasztott világítótestek olyan csillagok, amelyek deklinációja és jobbra emelkedése a nap folyamán változatlanul vehető, akkor a greenwichi óraszögek helyett megengedett a jobbra emelkedésük szögmértékben kifejezett értékei , vagy csillagkomplementereik , . Ebben az esetben a megfigyelő helyének földrajzi szélessége a világítótestek pontos megfigyelési idejének ismerete nélkül kerül kiszámításra. $\alpha$ ${\displaystyle \tau ^{\csillag ))$

A számítás folyamata

Tekintsük a parallaktikus háromszögeket és , ahol az északi égi pólus , és a megfigyelt testek, a megfigyelő zenitje . és a világítótestek zenittávolságai . $PZ\sigma _{1}$ $PZ\sigma _{2}$ $P_{N}$ $\sigma_1$ $\sigma_2$ $Z$ ${\displaystyle z_{1}=90^{\circ }-h_{o1))$ ${\displaystyle z_{2}=90^{\circ }-h_{o2))$

A számítások első szakaszában (szélesség meghatározása) szükséges a világítótestek közötti óraszög értéke , amelyet megfigyelő bolygók, a Nap vagy a Hold esetében a Greenwich-i óraszögekből kell kiszámítani: $\Delta t$

{\displaystyle \Delta t=t_{G2}-t_{G1))

A csillagok megfigyelésekor ezt az értéket a jobb felemelkedésük értékéből kaphatjuk meg:

\Delta t=15^{\left[{\frac {\circ }{h}}\right]}\cdot (\alpha _{2}^{[h]}-\alpha _{1} ^{[h]})

A csillagos kiegészítésekből:

\Delta t=\underbrace {(t_{G}^{\curlyvee }+\tau _{2}^{\star })} _{t_{G2}}-\underbrace {(t_{G} ^{\curlyvee }+\tau _{1}^{\star })} _{t_{G1}}=\tau _{2}^{\star }-\tau _{1}^{\star }

A greenwichi óraszögek tényleges értékére a hosszúság kiszámításának lépésénél lesz szükség.

A koszinusz törvénye szerint

A világítótestek közötti szögtávolság : $D_{12}$

\cos(D_{12})=\sin(\delta _{1})\cdot \sin(\delta _{2})+\cos(\delta _{1})\cdot \cos( \delta _{2})\cdot \cos(\Delta t)

A , , parallaktikus szög állandó része az első lámpatestnél: $q_{1}$

\cos(q_{1})={\frac {\sin(\delta _{2})-\sin(\delta _{1})\cdot \cos(D_{12})}{\ cos(\delta _{1})\cdot \sin(D_{12})}}={\frac {\sin(\delta _{2})}{\cos(\delta _{1})\cdot \sin(D_{12})}}-{\frac {\tan(\delta _{1})}{\tan(D_{12})}}

A parallaktikus szög változó része az első csillagtól a megfigyelőig: $\Delta q_{1}$

\cos(\Delta q_{1})={\frac {\sin(h_{o2})-\sin(h_{o1})\cdot \cos(D_{12})}{\cos( h_{o1})\cdot \sin(D_{12})}}={\frac {\sin(h_{o2})}{\cos(h_{o1})\cdot \sin(D_{12}) }}-{\frac {\tan(h_{o1})}{\tan(D_{12})}}

A megfigyelő elhelyezkedhet két pont egyikében, vagy az ívre szimmetrikusan elhelyezve a paralaktikus szög tényleges értéke a és a szögek összege vagy különbsége lehet . $Fix_{1}$ ${\displaystyle Fix_{2))$ $D_{12}$ $q_{1}$ $\Delta q_{1}$

Az első kereszteződés szélessége : $\varphi _{(q_{1}+\Delta q_{1})}$

\sin(\varphi _{(q_{1}+\Delta q_{1})})=\sin(\delta _{1})\cdot \sin(h_{o1})+\cos( \delta _{1})\cdot \cos(h_{o1})\cdot \cos(q_{1}+\Delta q_{1})

A második kereszteződés szélessége : $\varphi _{(q_{1}-\Delta q_{1})}$

\sin(\varphi _{(q_{1}-\Delta q_{1})})=\sin(\delta _{1})\cdot \sin(h_{o1})+\cos( \delta _{1})\cdot \cos(h_{o1})\cdot \cos(q_{1}-\Delta q_{1})

A megfigyelő aktuális helyzetének hozzávetőleges becslése alapján a szélességi értéket választják ki, amely a legközelebb áll a várható értékhez. További számításokat végeznek vele. $\varphi _{o}$

A szög előjele meghatározható anélkül, hogy megpróbálnánk mindkét szélességi értéket kiszámítani. Elég a háromszög típusával ellenőrizni : ha a számozott hely és a világ emelkedett pólusa az ív egy oldalán van , akkor az értéket mínusz előjellel kell venni, ha a számozott hely és a pólus világ különböző oldalain vannak, az értéket pluszjellel kell venni. $\Delta q_{1}$ ${\displaystyle P\sigma _{1}\sigma _{2))$ $D_{12}$ $\Delta q_{1}$ $\Delta q_{1}$

A szélességi fok első világítótestének helyi óraszögének fő értéke , : $t_{1}$ $\varphi _{o}$

\cos(t_{1})={\frac {\sin(h_{o1})-\sin(\delta _{1})\cdot \sin(\varphi _{o})}{\ cos(\delta _{1})\cdot \cos(\varphi _{o})}}={\frac {\sin(h_{o1})}{\cos(\delta _{1})\cdot \cos(\varphi _{o})}}-\tan(\delta _{1})\cdot \tan(\varphi _{o})

Mivel a függvény $\arccos(x)$ mindig a tartományba eső szögértékeket adja vissza , a lokális óránkénti szög tényleges értékét a csillagnak a megfigyelő meridiánjához viszonyított helyzete határozza meg: ha nyugatra van, akkor , ha akkor keleten . $0^{\circ }...180^{\circ }$ $t_{m1_{i))$ $t_{m1_{I}}=t_{1}$ $t_{m1_{II}}=360^{\circ }-t_{1}$

Ha a csillag közel van a megfigyelő meridiánjához, nehéz lehet magabiztosan meghatározni a keleti vagy nyugati irányszögét, különösen a zenit közelében található világítótestek esetében. Az óraszög tényleges értékének kiválasztásához ki kell számítani a második csillag magasságát, mindkét lehetséges értékre számítva , és össze kell hasonlítani a megfigyelt értékkel . $t_{m1_{i))$ ${\displaystyle h_{o2))$

t_{m2_{I}}=\underbrace {(t_{m1_{I}}-t_{G1})} _{\lambda _{o_{I}}}+t_{G2}

a második világítótest lokális óraszöge a függvény fő értékénél

\arccos(\cos(t_{1}))

t_{m2_{II}}=\underbrace {(t_{m1_{II}}-t_{G1})} _{\lambda _{o_{II}}}+t_{G2}

a második világítótest lokális óránkénti szöge a bemeneti változó második lehetséges értékénél

\sin(h_{c2_{I))=\sin(\varphi _{o})\cdot \sin(\delta _{2})+\cos(\varphi _{o})\cdot \ cos(\delta _{2})\cdot \cos(t_{m2_{I}})

- a helyhez tartozó második lámpatest számított magassága

(\varphi _{o};\lambda _{o_{I)))

\sin(h_{c2_{II))=\sin(\varphi _{o})\cdot \sin(\delta _{2})+\cos(\varphi _{o})\cdot \ cos(\delta _{2})\cdot \cos(t_{m2_{II}})

- a helyhez tartozó második lámpatest számított magassága

(\varphi _{o};\lambda _{o_{II)))

A hosszúságot az első világítótest óraszögének értékével számítjuk ki , amelynél a második világítótest számított , és megfigyelt magassága konzisztens. $t_{m1_{i))$ $h_{c2_{i))$ ${\displaystyle h_{o2))$

Az egyenlő magasságú körök kiválasztott metszéspontjának hosszúsága : $\lambda _{o}$

\lambda _{o}=t_{m1_{i}}-t_{G1}

Meghatározzák a megfigyelő földrajzi koordinátáit és elhelyezkedését az adott pillanatban . $\varphi _{o}$ $\lambda _{o}$ $UT_{o}$

Kétértelműség felbontás

Ha csak két világítótest állna a megfigyelésre, például a Nap és a Hold, és a koordináták megválasztásának kétértelműségét a harmadik lámpatest megfigyelésével nem lehet kiküszöbölni, és a számítási hely megközelítőleg sem ismert, akkor ki kell számítani az egyik világítótest azimutját mindkét metszéspontra, és összehasonlítani a megfigyelt értékekkel.

A csillag azimutja : $A$

\cos(A)={\frac {\sin(\delta )-\sin(h)\cdot \sin(\varphi _{i})}{\cos(h)\cdot \cos(\ varphi _{i})}}={\frac {\sin(\delta )}{\cos(h)\cdot \cos(\varphi _{i))}}-\tan(h)\cdot \tan (\varphi _{i})

A szélesség (és a jövőben a hosszúság) helyes értékének kiválasztásához elegendő a megfigyelt világítótest azimutjának becslése ±10° tűréssel.

Harsines segítségével

A metszéspontok koordinátái ugyanazon kiindulási adatok szerint egyetlen trigonometrikus függvénnyel - a szög hasszinusával - számíthatók [2] . Az egy ívperc koordinátapontosságának eléréséhez a hasszinusok természetes értékeinek 4 számjegyű táblázata alkalmas [3] , amely lehetővé teszi a számítások elvégzését elektronikus számológépek vagy több trigonometrikus függvény értékeinek logaritmustáblázata nélkül. . $\operátornév {hav} (\theta )$

Segéd mennyiségek és : $F$ $G$

F=\operátornév {hav} (\delta _{2}-\delta _{1})

G=\operátornév {hav} (\delta _{2}+\delta _{1})

A világítótestek közötti szögtávolság : $D_{12}$

\operatorname {hav} (D_{12})=F+(1-FG)\cdot \operatorname {hav} (\Delta t)

Kiegészítő szög : _ $D_{12}$

{\displaystyle D^{*}=90^{\circ }-D_{12))

Az első világítótest zenittávolsága , ,; a második csillag zenittávolsága, , és poláris távolsága , ,: $z_{1}$ $z_{2}$ $p_{2}$

{\displaystyle z_{1}=90^{\circ }-h_{o1))

{\displaystyle z_{2}=90^{\circ }-h_{o2))

{\displaystyle p_{2}=90^{\circ }-\delta _{2))

A poláris távolságot mindig az északi égi pólustól mérjük.

Segédmennyiségek , , , , és : $J$ $K$ $L$ $P$ $R$ $S$

J=\operátornév {hav} (h_{o1}-D^{*})

K=\operátornév {hav} (h_{o1}+D^{*})

L=\operátornév {hav} (\delta _{1}-D^{*})

P=\operátornév {hav} (\delta _{1}+D^{*})

R=\operátornév {hav} (\delta _{1}-h_{o1})

S=\operátornév {hav} (\delta _{1}+h_{o1})

Segéd sarok : $\alpha$

\operatorname {hav} (\alpha )={\frac {\operatorname {hav} (z_{2})-J}{1-KJ))

Segéd sarok : $(\alpha +\beta )$

\operatorname {hav} (\alpha +\beta )={\frac {\operatorname {hav} (p_{2})-L}{1-PL))

Segédszög egyenlő magasságú körök első metszéspontjára vonatkoztatva: $\beta _{I}$

\beta _{I}=(\alpha +\beta )-\alpha

Az első metszéspont szélességi és szélességi fokát kiegészítő szög : $\phi _{I}^{*}$ $\varphi _{I}$

\operátornév {hav} (\phi _{I}^{*})=R+(1-RS)\cdot \operátornév {hav} (\beta _{I})

\varphi _{I}=90^{\circ }-\phi _{I}^{*}

Ha a kapott szélességi érték nem egyezik a megfigyelő aktuális helyzetének hozzávetőleges becslésével, akkor kiszámítjuk az egyenlő magasságú körök második metszéspontjának szélességét:

\beta _{II}=(360^{\circ }-(\alpha +\beta ))-\alpha

\operátornév {hav} (\phi _{II}^{*})=R+(1-RS)\cdot \operátornév {hav} (\beta _{II})

\varphi _{II}=90^{\circ }-\phi _{II}^{*}

A kiválasztott értékkel további számításokat végeznek . $\varphi _{o}$

Segéd mennyiségek és : $U$ $V$

U=\operátornév {hav} (\delta _{1}-\varphi _{o})

V=\operátornév {hav} (\delta _{1}+\varphi _{o})

Az első lámpa helyi óraszögének alapértéke , , szélességre : $t_{1}$ $\varphi _{o}$

\operatorname {hav} (t_{1})={\frac {\operatorname {hav} (z_{1})-U}{1-VU))

Mivel a függvény mindig a tartományba eső szögértékeket adja vissza , a lokális óránkénti szög tényleges értékét a csillagnak a megfigyelő meridiánjához viszonyított helyzete határozza meg: ha nyugatra van, akkor , ha akkor keleten . $\operatorname {archav} (x)$ $0^{\circ }...180^{\circ }$ $t_{m1_{i))$ $t_{m1_{I}}=t_{1}$ $t_{m1_{II}}=360^{\circ }-t_{1}$

Ha a csillag közel van a megfigyelő meridiánjához, nehéz lehet magabiztosan meghatározni a keleti vagy nyugati irányszögét, különösen a zenit közelében található világítótestek esetében. Az óraszög értékének kiválasztásához ki kell számítani a második lámpatest magasságát, mindkét lehetséges értéknél várhatóan, és össze kell hasonlítani a megfigyelt értékkel . ${\displaystyle h_{o2))$

t_{m2_{I}}=\underbrace {(t_{m1_{I}}-t_{G1})} _{\lambda _{o_{I}}}+t_{G2}

a második világítótest lokális óraszöge a függvény fő értékénél

\operatorname {archav} (\operatorname {hav} (t_{1}))

t_{m2_{II}}=\underbrace {(t_{m1_{II}}-t_{G1})} _{\lambda _{o_{II}}}+t_{G2}

a második világítótest lokális óránkénti szöge a bemeneti változó második lehetséges értékénél

M=\operátornév {hav} (\delta _{2}-\varphi _{o})

N=\operátornév {hav} (\delta _{2}+\varphi _{o})

\operátornév {hav} (z_{c2_{I)))=M+(1-MN)\cdot \operátornév {hav} (t_{m2_{I))))

\operátornév {hav} (z_{c2_{II)))=M+(1-MN)\cdot \operátornév {hav} (t_{m2_{II)))

Az ív a második világítótest zenittávolsága a helyhez számolva . $z_{c2_{i))$ $(\varphi _{o};\lambda _{o_{i)))$

h_{c2_{i}}=90^{\circ }-z_{c2_{i}}

a második világítótest számított magassága .

A metszéspont hosszúsága, : $\lambda _{o}$

\lambda _{o}=t_{m1_{i}}-t_{G1}

Meghatározzák a megfigyelő földrajzi koordinátáit és elhelyezkedését az adott pillanatban . $\varphi _{o}$ $\lambda _{o}$ $UT_{o}$

Kétértelműség felbontás

A világítótest szögtávolsága a megemelt pólustól : $ePD$

ePD={\begin{cases}90^{\circ }-\vert \delta \vert &\quad \delta {\text{ és }}\varphi _{i}{\text{ azonos nevű (mind az északi vagy mindkét déli félteke)))\\90^{\circ }+\vert \delta \vert &\quad \delta {\text{ és }}\varphi _{i}{\text{ eltérő)) \end{ eset}}

A csillag azimutja : $A$

\operatorname {hav} (A)={\frac {\operatorname {hav} (ePD)-\operatorname {hav} (\vert \varphi _{i}\vert -h)}{1-\operatorname {hav} (\vert \varphi _{i}\vert -h)-\operátornév {hav} (\vert \varphi _{i}\vert +h)))

A szélesség (és a jövőben a hosszúság) helyes értékének kiválasztásához elegendő a megfigyelt világítótest azimutjának becslése ±10° tűréssel.

Jegyzetek

↑ Ha a világítótestek magasságát nem mértük egyszerre, akkor az egyik magasságát egy pillanatra csökkentve kell korrigálni , ha a megfigyelő mozgásban volt, akkor a magasságot egy zenitre kell hozni. .
↑ Lars Bergman, All-Haversine javítás . Letöltve: 2019. szeptember 23. Az eredetiből archiválva : 2019. szeptember 23. (határozatlan)
↑ Harszinok természeti értékeinek négyjegyű táblázata, PDF, 51kB

Linkek

Irodalom

3. fokozatú kapitány A. Lusis, Helymeghatározás csillagok által a nagy magasságú izolátumok továbbfejlesztett módszerével , "Sea Collection", 1988. 12. szám, 65. o.