Wavelet transzformáció

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. május 2-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 6 szerkesztést igényelnek .

A Wavelet transzformáció ( angolul Wavelet transform ) egy integrál transzformáció , amely egy wavelet függvény és egy jel konvolúciója . A wavelet transzformáció a jelet időről-frekvencia reprezentációra alakítja át .

Egy függvény (vagy jel) olyan formára való konvertálásának módszere, amely vagy alkalmasabbá teszi az eredeti jel egyes értékeinek tanulmányozását, vagy tömöríti az eredeti adatkészletet. A hullámjel transzformáció a spektrális elemzés általánosítása. Az angol wavelet kifejezés angol fordításban "kis hullámot" jelent. A hullámok egy bizonyos alakú matematikai függvények általános elnevezése, amelyek időben és gyakoriságban lokálisak, és amelyekben minden függvény egy alapból származik, megváltoztatva azt (eltolódás, nyújtás).

A waveletekre vonatkozó követelmények

A wavelet transzformáció megvalósításához a wavelet függvényeknek meg kell felelniük a következő kritériumoknak [1] :

1. A hullámnak véges energiájúnak kell lennie: $\psi (t)$

$E=\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}{|\psi (t)|}^{2}\,dt<\infty$

2. Ha a Fourier-transzformáció a waveletre , akkor az ${\hat {\psi ))(f)$ $\psi (t)$

${\hat {\psi }}(f)=\int \limits _{{-\infty }}^({\infty }}\psi (t)e^{{-i(2\pi f)t} }\,dt$

akkor a következő feltételnek kell teljesülnie:

$C_{{\psi }}=\int \limits _{{0}}^({\infty }}{\frac {{|{\hat {\psi }}(f)|}^{2}}{ f}}\,df<\infty$

Ezt a feltételt megengedhetőségi feltételnek nevezzük, és ebből következik, hogy a zérus frekvenciakomponensű hullámnak meg kell felelnie a feltételnek , vagy más esetben a waveletnek nullával kell lennie az átlagnak. ${\hat {\psi ))(0)=0$ $\psi (t)$

3. A komplex waveletekre egy további feltételt is bemutatunk, nevezetesen, hogy a Fourier-transzformációnak egyszerre kell valósnak lennie, negatív frekvenciák esetén pedig csökkennie kell.

4. Lokalizáció: a waveletnek folyamatosnak, integrálhatónak, kompaktnak kell lennie, és időben (térben) és frekvenciában egyaránt lokalizáltnak kell lennie. Ha a hullám a térben szűkül, akkor az átlagos frekvenciája nő, a hullámspektrum a magasabb frekvenciák tartományába kerül és kitágul. Ennek a folyamatnak lineárisnak kell lennie - a wavelet felére szűkítése kétszeresére növeli annak átlagos frekvenciáját és spektrális szélességét.

A wavelet transzformáció tulajdonságai

1. Linearitás

${\text{WT}}[\alpha s_{1}(t)+\beta s_{2}(t)]=\alpha \,{\text{WT}}[s_{1}(t)]+ \beta \,{\text{WT}}[s_{2}(t)]$

2. Nyírási invariancia

${\text{WT}}[s(t-t_{0})]=C(a,b-t_{0})$

A jel t 0 -val való időbeni eltolódása a wavelet spektrum t 0 -val való eltolódását is eredményezi .

3. Invariancia skálázás alatt

${\text{WT}}{\biggl [}s{\biggl (}{\frac t{a_{0}}}{\biggr )}{\biggr ]}={\frac 1{a_{0}} }C{\biggl (}{\frac a{a_{0}}},\,{\frac b{a_{0}}}{\biggr )}$

A jel megnyújtása (tömörítése) a jel wavelet spektrumának tömörítéséhez (nyújtásához) vezet.

4. Differenciálás

${\frac {d^{n}}{dt^{n}}}{\text{WT}}[s(t)]={\text{WT}}{\biggl [}{\frac {d^ {n}s(t)}{dt^{n))}{\biggr ]},\quad {\text{WT)){\biggl [}{\frac {d^{n}s(t)} {dt^{n))}{\biggr ]}=(-1)^{n}\!\int \limits _{{-\infty }}^({\infty }}s(t){\frac {d^{n}\psi (t)}{dt^{n}}}\,dt$

Ebből következik, hogy nem mindegy, hogy a függvényt vagy az elemző waveletet különböztetjük meg. Ha az elemző waveletet egy képlet adja meg, akkor nagyon hasznos lehet jelelemzésben. Ez a tulajdonság különösen akkor hasznos, ha a jelet diszkrét sorozatként adjuk meg.

Folyamatos wavelet transzformáció

A folytonos jel wavelet-transzformációja a wavelet-függvényhez képest a következőképpen van meghatározva[1]:

$T(a,b)={\frac {1}{{\sqrt {a))))\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}x(t)\psi ^{ *}\left({\frac {tb}{a}}\right)\,dt$

ahol a komplex konjugátumot jelenti , a paraméter az időeltolásnak felel meg, és pozícióparaméternek nevezzük, a paraméter határozza meg a skálázást, és az úgynevezett stretch paraméter. ${\psi }^{*}$ $\psi$ $b\in R$ $a>0$

$w(a)\equiv {\frac {1}{{\sqrt {a))))$ a súlyfüggvény.

Normalizált függvényt a következőképpen definiálhatunk

${\psi }_{{a,b}}={\frac {1}{{\sqrt {a}}}}{\psi }\left({\frac {tb}{a}}\jobb)$

ami b -vel való időeltolást és a-val az időskálázást jelenti . Ekkor a wavelet transzformációs képlet a következőre változik

$T(a,b)=\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}x(t)\,\psi _{{a,b}}^{*}\,dt$

Az eredeti jel az inverz transzformációs képlet segítségével állítható vissza

$x(t)={\frac {1}{C_{{\psi }}}}\int \limits _{{-\infty }}^({\infty }}\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}T(a,b)\,{\psi }_{{a,b}}(t)\,da\,db$

Diszkrét wavelet transzformáció

A diszkrét esetben az a és b eltolás skálázási paramétereit diszkrét értékekkel jelöljük:

$a=a_{0}^{m},\quad b=nb_{0}$

Ekkor az elemző wavelet alakja a következő:

$\psi _{{m,n}}=a_{0}^{{-m/2}}\psi \left({\frac {t-nb_{0}}{a_{0}^{m}} }\jobb)$

ahol m és n egész számok.

Ebben az esetben folyamatos jel esetén a diszkrét wavelet transzformációt és annak inverz transzformációját a következő képletekkel írjuk fel:

$T_{{m,n}}=\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}x(t)\,\psi _{{m,n}}^{*}(t )\,dt$

A mennyiségeket wavelet-együtthatónak is nevezik. $T_{{m,n}}$

$x(t)=K_{{\psi }}\sum \limits _{{m=-\infty }}^{{\infty }}\sum \limits _{{n=-\infty }}^{{ \infty }}T_{{m,n}}\psi _{{m,n}}(t)$

hol van a normalizációs állandó. $K_{{\psi ))$

Grafikus ábrázolás

Alkalmazás

A wavelet transzformációt széles körben használják jelelemzésre. Ezenkívül nagyszerű alkalmazást talál az adattömörítés területén. A diszkrét wavelet transzformációban a jel legjelentősebb információja nagy amplitúdónál, a kevésbé hasznos információ pedig alacsony amplitúdónál van. Az adattömörítés az alacsony amplitúdók elvetésével érhető el. A wavelet transzformáció lehetővé teszi nagy tömörítési arány elérését a rekonstruált jel jó minőségével kombinálva. A wavelet transzformációt a JPEG2000 és az ICER képtömörítési szabványokhoz választották . Alacsony tömörítés esetén azonban a wavelet transzformáció minősége gyengébb az ablakos Fourier-transzformációhoz képest , amely a JPEG szabvány alapját képezi.

Egy adott típusú és típusú wavelet kiválasztása nagymértékben függ az elemzett jelektől és az elemzési feladatoktól. Az optimális transzformációs algoritmusok elkészítéséhez bizonyos kritériumokat kidolgoztak, de ezek még nem tekinthetők véglegesnek, mivel maguknak a transzformációs algoritmusoknak belsőek, és általában nem veszik figyelembe a jelekhez kapcsolódó külső kritériumokat és azok céljait. átalakulások. Ebből következik, hogy a waveletek gyakorlati felhasználása során kellő figyelmet kell fordítani teljesítményük és hatékonyságuk ellenőrzésére a kitűzött célok érdekében, összehasonlítva az ismert feldolgozási és elemzési módszerekkel.

Előnyök és hátrányok

Előnyök:

A Wavelet transzformációk a Fourier transzformációk összes előnyével rendelkeznek.
A hullámbázisok mind frekvenciában, mind időben jól lokalizálhatók. A jól lokalizált többléptékű folyamatok jelekben történő szétválasztásakor csak azok a léptékű bomlási szintek jöhetnek számításba, amelyek érdekesek.
A bázis waveleteket különböző simaságú függvényekkel lehet megvalósítani.

Hibák:

Egy hátrányt lehet kiemelni - ez az átalakítás viszonylagos összetettsége.

Jegyzetek

↑ Addison PS The Illustrated Wavelet Transform Handbook. – IOP, 2002.