A Hardy-variáció több változóból álló függvény egyik numerikus jellemzője.
Legyen egy -dimenziós paralelepipedon definiált függvény
Tekintsük a paralelepipedon tetszőleges felosztását hipersíkokkal
-dimenziós paralelepipedonokba.
Tekintsük azon függvények osztályát, amelyekre
ahol
Legyen most egy egész szám vektor, amelynek koordinátái kielégítik az egyenlőtlenségeket , és egy olyan dimenziós egész számvektor , amelynek koordinátái szigorúan növekvő sorozatot alkotnak, és mindazon számokból állnak , amelyek nem szerepelnek a számok között . Ekkor minden pont felírható . Ha a pont koordinátái az értékeken vannak rögzítve , akkor azt írjuk .
A Hardy függvény variációja :
Ha , akkor azt mondjuk, hogy a függvénynek korlátos (véges) Hardy-variációja van a paralelepipedonon , és az összes ilyen függvény osztályát jelöljük .
Kezdetben a at osztályt G. Hardy [1] ( G. N. Hardy ) vezette be a kettős Fourier-sorok [2] konvergenciájának vizsgálata kapcsán . Bebizonyította, hogy a ( ) osztály függvényének ( ) kettős Fourier-sorának négyszögletes részösszegei minden változóban periódussal minden pontban konvergálnak a számhoz.
ahol
Ahhoz, hogy egy függvény bekerüljön az osztályba , szükséges és elégséges, hogy , ahol és véges függvényekként ábrázolható legyen , mindenre és megengedett növekményre . Az osztály azon függvények osztályában található, amelyek korlátozott Artzel-változattal rendelkeznek a -n .