Blokkolja Hamiltonian

A Hamilton-blokk egy Hamilton -féle , amely leírja a mágnes kritikus viselkedését egy másodrendű fázisátalakulás pontja közelében .

Tárgy

A Curie -pont közelében egy mágnest tekintünk . A mágnes viselkedését ebben a tartományban számos termodinamikai jellemző (például hőkapacitás , szuszceptibilitás ) eltérése határozza meg. A hasonlóság termodinamikai hipotézise az összes eltérést a korrelációs hossz korlátlan növekedésével kapcsolja össze . A korrelációs hosszt közvetlenül mérjük neutronszórási kísérletekkel. Ennek a cikknek az a célja, hogy leírja, hogyan kaphatunk olyan Hamilton-féleséget, amely kényelmesen meghatározná a rendszert növekvő korrelációk körülményei között.

Cellular Hamiltonians

Mivel a kritikus jelenségek, valamint a kristályrács és a belső atomi héjak kialakulása semmilyen módon nem kapcsolódnak egymáshoz, az utóbbit tekintjük adottnak. Feltételezve, hogy a kritikus jelenségek az elektron spinek nagy léptékű kollektív viselkedéséből adódnak , azt találjuk, hogy minden valószínűség szerint nem kell ismernünk a sáv szerkezetét és sok más részletet, csak tudnunk kell általános hatásukat a kölcsönhatás az elektron spinek között. Ebben az esetben még erőteljesebb egyszerűsítéseket lehet tenni. Tekintsünk klasszikus spineket, egy adott kristályrács minden elemi cellájában egy ismert spin-spin kölcsönhatást. Elhanyagoljuk a kvantumtermészetet, az elektronok mozgását és sok más részletet. Ilyen feltevésekkel működő modellek például az Ising-modell és a Heisenberg-modell .

Minden cellához rendelünk egy spin változót , amely a c cella teljes spinjének mértékeként szolgál. Összességében a rács cellákat és ennek következtében spin változókat tartalmaz. Ezeket a változókat cellapörgésnek nevezzük. A spin energia a spin változók függvénye. Ez a sejt spin Hamilton. Nevezzük Hamiltoni sejtnek. $\sigma _{{c}}$ $L^{3}$ $L^{3}$ ${\kalap {H}}[\sigma ]$

Ising modell

Ezt a modellt egy Hamilton-féle cella jellemzi

${\hat {H}}[\sigma ]={\frac {1}{2}}J\sum _{{c}}\sum _{{r}}'(\sigma _{{c}}- \sigma _{{c+r}})^{2},\qquad (1)$

ahol az r feletti összeget csak a c cella legközelebbi szomszédaira vesszük át. A spin változók csak két értéket vehetnek fel . A Hamilton-féle (1) lehetővé teszi a legegyszerűbben annak a ténynek a tükrözésére, hogy az azonos orientációjú spinek energiája kisebb, mint az ellenkező irányban. J - " energiacsere ". $\sigma _{{c}}=\pm 1$

A Heisenberg-modell

A Heisenberg-modell az Ising-modell általánosítása arra az esetre, amikor a spin tetszőleges módon orientálható. Minden spin leírásához szükségünk van egy vektorra

$\sigma _{{c}}=(\sigma _{{1c}},\sigma _{{2c}},\sigma _{{3c}}).\qquad (2)$

A esetén a szokásos skalárszorzat kerül bevezetésre, és a Hamilton-féle (1) megjelenése megmarad. $\sigma _{{c}}$

XY-modell

Az XY modell egy köztes eset az Ising-modell és a Heisenberg-modell között. Főleg egy síkban orientált forgású mágnesek leírására szolgál.

A Hamiltoni blokk felépítése, a Kadanoff-transzformáció

A korrelációs hossz növekedésének körülményei között joggal feltételezhető, hogy a mágnes kritikus viselkedése nem bizonyos elemi cellák spinjeitől függ, hanem egész régiók spineinek átlagértékei határozzák meg. a vizsgált mintából. Szerkesszünk egy Hamilton-tömböt az ilyen eszközök függvényében. Az ilyen konstrukciót Kadanoff- transzformációnak nevezik .

Az első mód

Készítsünk egy Hamiltoni blokkot, amely leírja a blokkpörgetések közötti kölcsönhatást. Ehhez a kristályt elemi cellák méretű köbös tömbökre osztjuk, ahol d annak a térnek a mérete, amelyben a rendszert vizsgáljuk. Minden blokknál a blokkpörgést a cella pörgetéseinek összegeként határozzuk meg osztva -val . A Hamiltoni blokk paraméterei összefoglalják a rendszer viselkedésének lényeges részleteit a b rácsállandók skáláján. $b^{d}$ $b^{d}$

Legyen a cellákon belüli adott spineloszlású rendszer megtalálásának valószínűsége egyenlő

$P[\sigma ]\sim exp[-{\hat {H}}[\sigma ]/T].\qquad (3)$

Ekkor a blokkpörgetések adott eloszlásával rendelkező rendszer megtalálásának valószínűségét a következőképpen fejezzük ki

$P'[\sigma ]\sim \int e^{{-{\hat {H}}[\sigma ]/T}}\prod _{{i,x}}\delta (\sigma _{{i, x}}-b^{{-d}}\sum _{{c}}^{{x}}\sigma _{{i,c}})\prod _{{j,c}}d\sigma _{{j,c}}\equiv e^{{-{\hat {H'}}[\sigma ]/T)),\qquad (4)$

ez a képlet a Hamilton-blokk definíciójának tekinthető . ${\hat {H'}}[\sigma ]$

$K_{{b}}{\hat {H}}[\sigma ]={\hat {H'}}[\sigma ]\qquad (5)$

A Kadanoff-transzformáció tulajdonsága nyilvánvaló

$K_{{b_{{1}}}}K_{{b_{{2}}}}{\hat {H}}[\sigma ]=K_{{b_{{1}}*b_{{2}} }}{\hat {H}}[\sigma ].\qquad (6)$

A második út

Tekintsük a Hamilton-sejtet a Fourier-komponensek függvényében ${\kalap {H}}[\sigma ]$ $\sigma _{{k}}$

$\sigma _{{c}}=L^{{-d/2}}\sum _{{k}}e^{{ik*c}}\sigma _{{k}},\quad \sigma _ {{k}}=L^{{-d/2}}\sum _{{c}}e^{{-ic*k}}\sigma _{{c}}.\qquad (7)$

Most a következő módon mutatjuk be a Hamiltoni blokkot

$P'\sim \int e^{{-{\hat {H}}[\sigma ]/T}}\prod _{{i,k>\Lambda }}d\sigma _{{i,k}} \equiv e^{{-{\hat {H'}}[\sigma ]/T)),\qquad (8)$

ebben az esetben a blokkpörgetést a következőképpen határozzuk meg

$\sigma (x)=L^{{-d/2}}\sum _{{k<\Lambda }}e^{{ik*x}}\sigma _{{k}},\qquad (9)$

és leírja a centrifugálási konfigurációt ig terjedő skálákon $b\sim \Lambda ^{{-1}}$

Megjegyzés

A Hamilton-blokk meghatározásának első és második módja nem teljesen egyenértékű, és formálisan különböző objektumokat határoz meg.

Irodalom

1. Ma Sh. A kritikai jelenségek modern elmélete. — M.: Mir, 1980. — 297 p.

2. A. N. Vasil’ev, Kvantumtér renormalizációs csoport a kritikus viselkedés és a sztochasztikus dinamika elméletében. - Szentpétervár: PNPI Kiadó, 1998. - 774 p. — ISBN 5-86763-122-2