Biduga

A biduga egy sima sík görbe, amely két, egy teljes körnél kisebb körívből áll. Az egyik ív lehet egyenes szakasz. Biarcsokat [1] javasoltak adott határpontokkal és érintőkkel rendelkező görbék geometriai modellezésére (konstrukció, közelítés ). A biarkok osztályában ez a probléma megoldások egész családjával rendelkezik, és további feltételeket igényel a konkrét görbék megtalálásához. Ezek lehetnek az egyik ív görbületének vagy elforgatásának beállítása, a görbe fix hossza [2] , a görbületi ugrás minimalizálásának követelménye a csomópontban stb.

Bi-ív esetén a görbület függése az ív hosszától monoton (mivel két állandó szakaszból áll), így a bid-ív a legegyszerűbb spirál [3] . $k(s)$

Példák a bidugokra

ábrán. Az 1. ábrán hat ajánlat látható . A és pontok a görbe kezdő- és végpontjai, (összekapcsolás) két ív sima konjugációjának pontja. $AJB$ $A$ $B$ $J$

Az 1-4. példák a rövid biarkokat szemléltetik: nem metszik egy akkord komplementerét végtelen egyenesre, bár magát az akkordot is metszik (1. biarc). Általában ezek a görbék a közelítés tárgyai.

Az 5. és 6. példák a hosszú biarket szemléltetik: metszik az akkord komplementerét, vagyis az egyik végpont körül csavaródnak.

Az 1., 2. és 6. görbéknél a pont egy inflexiós pont: ennél a görbület előjelet vált (-ból +-ra az 1., 2. görbéknél és +-ból --ra a 6-os görbéknél). $J$

A görbék egy hosszúságú húrkoordináta - rendszerben vannak elhelyezve , amelyben a kezdő - és végpont koordinátái egyenlőek . $\overrightarrow {AB}$ $\;2c=|AB|$ $A=(-c,0),\;\;B=(c,0)$

A és pontokban lévő érintők orientált meredekségét a húr irányához képest mérve és jelöli . Tehát az 1. bidugi esetében az ábrán. 1 , és a 2-6 bidugokhoz - . $A$ $B$ $\overrightarrow {AB}$ $\alpha$ $\beta$ $\;\alpha >0,\;\beta >0$ $\;\alpha >0,\;\beta <0$

A bidug család leírása

Határ érintővektorok a 2-6. Az 1. ábrák azonosak: Ezek a görbék egy egyparaméteres bi-ívek családjának tagjai, közös érintőkkel a végein. Az egész család a 2. ábra alsó töredékén látható. $\alpha =100^{\circ },\quad \beta =-30^{\circ }.$

Továbbá a cikk anyagai alapján adjuk meg a végeken közös érintőkkel rendelkező bi-ívek családjának főbb tulajdonságait [4] . A család paraméterét jelöli . A biarc alakban való megjelölése az állandók rögzítését jelenti, azaz . $p$ ${\mathcal {B}}(p)$ ${\mathcal {B}}(p;\,\alpha ,\beta ,c)$

A 2., 3. és 4. ábrák ilyen családokat mutatnak be különböző párokra $\{\alpha ,\beta \}.$

Szögek és görbületek összefüggései

A és szögek a következő tartományban vannak meghatározva : , . Bidug építése lehetséges $\alpha$ $\beta$ $[-\pi ;\,\pi ]$ $-\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi$ $-\pi \leqslant \beta \leqslant \pi$

\qquad 0<|\alpha +\beta |<2\pi .\qquad (1)

Bemutatjuk a jelölést

\omega ={\frac {\alpha +\beta }{2)),\quad \gamma ={\frac {\alpha -\beta }{2))

Az egyenlőtlenségek (1) azt jelentik, hogy . $\;\sin \omega \not =0$

Az első ív görbületét és a második ív görbületét a családparaméter függvényében fejezzük ki a következő képletekkel: $k_{1}$ $(AJ)$ $k_{2}$ $(JB)$

k_{1}(p)={\frac {1}{c}}\left(-\sin \alpha -{\frac {\sin \omega }{p}}\right),\quad k_ {2}(p)={\frac {1}{c}}\left(\sin \beta +p\sin \omega \right).

Hadd

$\theta _{1}$ és - az ív forgása és hossza : ; $L_{1}$ $AJ$ $\theta _{1}=k_{1}L_{1}$
$\theta _{2}$ és - az ív forgása és hossza : | $L_{2}$ $JB$ $\theta _{2}=k_{2}L_{2}$

Az egyenlőség igazságos

\theta _{1}(p)=2\arg \left(\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \alpha }+p^{-1}{\mathrm {e} ^{ -\mathrm {i} \omega }}\jobbra),\quad \theta _{2}(p)=2\arg \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \beta }+p\ ,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega }\jobbra).

A konjugációs pontok helye

Két ív találkozási pontjai egy körön helyezkednek el $J$

X_{J}(p)={\frac {c(p^{2}-1)}{p^{2}+2p\cos \gamma +1)),\quad Y_{J}( p)={\frac {2cp\sin \gamma }{p^{2}+2p\cos \gamma +1)),\quad -\infty \leqslant p\leqslant \infty .\qquad (2)

Ez a kör szögben hagyja el a pontot, és átmegy azon a ponton , amikor (vagyis amikor ) egy egyenes (3. ábra). A család biarcai állandó szögben metszik ezt a kört . $A$ $\gamma$ $b.$ $\gamma =0$ $\alpha =\beta$ $AB$ $-\omega$

A bi-ív érintőjének vektora a konjugációs pontban , ahol $||\cos \tau _{{}_{J)),\,\sin \tau _{{}_{J}}||$

\tau _{{}_{J}}(p)={-2}\operátornév {arctg} {\dfrac {p\sin {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\ frac {\beta }{2}}}{p\cos {\frac {\alpha }{2}}+\cos {\frac {\beta }{2}}}}.

A konjugációs pontban minimális görbületi ugrással rendelkező bi-ív akkor valósul meg, ha a pont az y tengelyen fekszik $\min \left|k_{2}(p)-k_{1}(p)\right|,$ $p=\pm 1;$ $J$ $(X_{J}=0).$

Degenerált bidugok

A biarcok családjában a következő degenerált biarcok különböztethetők meg .

Bi-ív : amikor a bi-ív konjugációs pontja a pontra hajlik , a rész eltűnik, és végtelen görbületi impulzussá változik . A biark az akkord alapján körívté degenerálódik, és a végpontban közös érintővel rendelkezik a család biarkjaival. ${\mathcal {B}}(0)$ $p\to 0$ $J(p)$ $AJB$ $A$ $AJ$ $AB$
Biduga : a törekvés vonz , egy rész eltűnik. A biark egy akkord alapján körívté degenerálódik, és a kiindulási pontban közös érintővel rendelkezik a család biarkjaival. ${\mathcal {B}}(\infty )$ $p\to \infty$ $J(p)\to B$ $JB$ $AB$
Biduga , hol ${\mathcal {B}}(p^{\ast })$ $\qquad p^{\ast }=\left\{{\begin{array}{lll}-{\dfrac {\sin \omega }{\sin \alpha )),\quad &{\text{ if))\;|\alpha |\geqslant |\beta |\quad (-\infty ,\;{\text{at))\;|\alpha |=\pi ),\\-{\dfrac {\ sin \beta }{\sin \omega )),\quad &{\text{if}}\;|\alpha |\leqslant |\beta |\quad (\;0,\;\;\;{\text {kukac}}\;|\beta |=\pi ),\end{tömb}}\jobbra.$ egy nem folytonos bi -ív, amely a sík végtelen távoli pontján halad át. Mindig , és az egyenlőtlenségek (1) kizárják az egyidejű egyenlőséget . A 2. és 3. ábrákon a nem folytonos bidugokat piros szaggatott vonallal ábrázoltuk. $p^{\ast }\leqslant 0$ $|\alpha |=|\beta |=\pi$

Figyelembe véve ezt a három degenerált biarkot , az egyetlen biarc áthalad a sík bármely pontján, ahol a pólusok kilyukadnak $A$ $B$ ${\mathcal {B}}(p)$ . Ugyanis a paraméterrel rendelkező ponton egy biarc halad át $(x,y)$

\qquad p(x,y)=\left\{{\begin{array}{ll}-{\dfrac {[(x+c)^{2}+y^{2}]\sin \ omega }{(c^{2}-x^{2}-y^{2})\sin \alpha -2cy\cos \alpha }},\quad &{\text{if}}\quad \omega \ ,C(x,y)\leqslant 0,\\-{\dfrac {(c^{2}-x^{2}-y^{2})\sin \beta +2cy\cos \beta }{[ (xc)^{2}+y^{2}]\sin \omega }},\quad &{\text{if}}\quad \omega \,C(x,y)\geqslant 0,\end{ tömb}}\jobbra.

ahol . $\;C(x,y)=(c^{2}-x^{2}-y^{2})\sin \gamma -2cy\cos \gamma$

Családi szerkezet

A biarcs családban a paraméter értékétől függően a következő nem degenerált biarcs alcsaládokat különböztetjük meg: ${\mathcal {B}}(p;\,\alpha ,\beta ,c)$ $p,$

{\begin{array}{l}{\mathcal {B}}^{\,+}(p){:}\quad p\in (0;\infty );\\{\mathcal {B } ))_{1}^{\,-}(p){:}\quad p\in (p^{\ast };0);\\{\mathcal {B))_{2}^{ \ ,-}(p){:}\quad p\in (-\infty ;p^{\ast });\\{\mathcal {B}}^{\,-}(p)={\mathcal { B))_{1}^{\,-}(p)\cup {\mathcal {B))_{2}^{\,-}(p)\end{array))

(a [4] , 2. tulajdonságban a és alcsaládokat rendre fő alcsaládnak és kiegészítő alcsaládnak nevezik el ). ${\mathcal {B}}^{\,+}$ ${\mathcal {B}}^{\,-}$

A 2., 3., 4. ábrán a , és alcsaládokba tartozó bimbók barna, kék és zöld színben láthatók. $\color {sienna}{\mathcal {B}}^{\,+}$ $\color {blue}{\mathcal {B}}_{1}^{\,-}$ $\color {green}{\mathcal {B}}_{2}^{\,-}$

Az alcsalád bidugai rövidek. Görbületük vagy nő (ha ), vagy csökken (ha ): ${\mathcal {B}}^{\,+}$ $\omega >0$ $\omega <0$

$\operátornév {sgn}(k_{2}-k_{1})=\operátornév {sgn} \omega =\operátornév {sgn}(\alpha +\beta )$ ( V. Vogt tétele rövid spirálokra ).

A lencsén belül találhatók , egy degenerált biarcs által határolt régióban és (a lencse tartománya az ábrákon árnyékolva van). A lencse szögszélessége (jelzett) . A GMT (2) a lencse felezőszöge . ${\mathcal {B}}(0)$ ${\mathcal {B}}(\infty )$ $\alpha +\beta =2\omega$

Az alcsaládba tartozó biarcsok a görbület monotonitásával ellentétes természetűek. Ha és , akkor ennek az alcsaládnak a bidugjai hosszúak. A nem folytonos bidug elválasztja egymástól az alcsaládok bidugjait . ${\mathcal {B}}^{\,-}$ ${\mathcal {B}}^{\,+}$
$|\alpha |\not =\pi$ $|\beta |\not =\pi$ $\color {red}{\mathcal {B}}(p^{\ast })$ ${\mathcal {B}}_{{\color {blue}1},{\color {green}2}}^{\,-}$

Az alcsalád üres, ha ${\mathcal {B}}_{1}^{\,-}$ $p^{\ast }=0$ $(|\beta |=\pi ).$

Az alcsalád üres, ha ${\mathcal {B}}_{2}^{\,-}$ $p^{\ast }=-\infty$ $(|\alpha |=\pi ).$

Határszögek újradefiniálása kumulatív értelemben . A természetes biarc egyenlet integrálása folyamatos (darabonként lineáris) függvényt ad - a görbe érintőjének dőlésszögét. Ezzel a definícióval a folytonos értékei túlmutathatnak , a végeken lévő értékek pedig eltérhetnek a -tól . Határozzuk meg a -val együtt a határszögek kumulatív változatait a formanyalábban ; a szög korrekciója akkor történik meg, ha a bi-ív a pont körül forog (az akkord jobb komplementerét egy végtelen vonalig keresztezi): $\tau(s)$ $\pm \pi$ $\alpha ,\beta$ $\pm 2\pi .$ $\alpha ,\beta$ ${\widetilde {\alpha )),{\widetilde {\beta ))$ $\tau(s).$ $\alpha$ $A,$ $\{x<-c,\,y=0\}$ $\beta$ $B$

alcsaládban : ; ${\mathcal {B}}^{\,+}$ ${\widetilde {\alpha }}=\alpha ,\qquad \qquad \quad {\widetilde {\beta }}=\beta$
alcsaládban : ; ${\mathcal {B}}_{1}^{\,-}$ ${\widetilde {\alpha }}=\alpha -2\pi \operatorname {sgn} \omega ,\;{\widetilde {\beta }}=\beta$
az alcsaládban : . ${\mathcal {B}}_{2}^{\,-}$ ${\widetilde {\alpha }}=\alpha ,\qquad \qquad \quad {\widetilde {\beta }}=\beta -2\pi \operátornév {sgn} \omega$

Ekkor a bi-ív teljes fordulata egyenlő ${\mathcal {B}}(p)$

\theta _{1}(p)+\theta _{2}(p)={\widetilde {\beta }}-{\widetilde {\alpha )),

és a görbület növekedése/csökkenése megfelel az egyenlőségnek

\operatorname {sgn}(k_{2}-k_{1})=\operatorname {sgn}({\widetilde {\alpha }}+{\widetilde {\beta }}).

Tehát a növekvő görbületű biarcok esetében a következőt kapjuk: ${\displaystyle k_{2}>k_{1))$

{\widetilde {\alpha }}>-\pi ,\quad {\widetilde {\beta }}>-\pi ,\quad 0<{\widetilde {\alpha }}+{\widetilde {\beta }}<2\pi .

Linkek

↑ Bolton, KM Biarc-görbék // Számítógéppel segített tervezés. - 1975. - 1. évf. 7 . - 89-92 . o . - doi : 10.1016/0010-4485(75)90086-X .
↑ Sabitov I.Kh. , Slovesnov A.V. Síkgörbék közelítése körívekkel // Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics . - 2010. - T. 50 , 8. sz . - S. 1347-1356 .
↑ Kurnosenko A.I. Síkspirálgörbék általános tulajdonságai // Tudományos szemináriumok jegyzetei POMI . - 2009. - T. 353 . - S. 93-115 . — ISSN 0373-2703 . [egy]
↑ 1 2 Kurnosenko, AI Biarcs and bilens (angol) // Computer Aided Geometric Design. - 2013. - Kt. 30 , sz. 3 . - P. 310-330 . - doi : 10.1016/j.cagd.2012.12.002 . [2]

Irodalom

Nutbourne, A.W.; Martin, R. R. Differenciálgeometria ív- és felülettervezésben. Vol.1: Foundations (angolul) . - Ellis Horwood, 1988. - ISBN 013211822X .

Lásd még

Vogt tétele