Végtelen munka

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. február 9-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A matematikában egy számsorozatra egy végtelen szorzat [1] $a_{1},a_{2},a_{3},\dots$

\prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}a_{2}a_{3}\dots

a résztermékek határértékeként van meghatározva . Egy szorzatot konvergensnek nevezünk, ha a határ létezik, és nem nulla. Ellenkező esetben a terméket divergensnek nevezzük . Azt az esetet, amikor a határérték nulla, külön vizsgáljuk, hogy a végtelen összegekhez hasonló eredményeket kapjunk . ${\displaystyle a_{1}a_{2}\dots a_{n))$ $n\to\infty$

Ha minden szám pozitív, akkor a logaritmus művelet alkalmazható. Ekkor egy végtelen szorzat konvergenciájának vizsgálata egy számsor konvergenciájának vizsgálatára redukálódik . $a_{1},a_{2},a_{3},\dots$

Konvergencia

Ha a szorzat konvergál, akkor a határegyenlőségnek teljesülnie kell . Ezért a logaritmus véges számú érték kivételével minden értékre definiálva van , amelyek jelenléte nem befolyásolja a konvergenciát. Ha ezt a véges számú tagot kivesszük a sorozatból, akkor az egyenlőséget kapjuk: $\lim _{n\to \infty }a_{n}=1$ $\ln a_{n}$ $n$ $\{a_{n}\}$

\ln \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }\ln a_{n},

amelyben a jobb oldali végtelen összeg konvergenciája egyenértékű a bal oldali végtelen szorzat konvergenciájával. Ez lehetővé teszi, hogy a végtelen összegek konvergenciájának kritériumát újrafogalmazzuk a végtelen szorzatok konvergenciájának kritériumává. Olyan termékek esetén, amelyekre bármely , , akkor és -t jelöljük , ahonnan az egyenlőtlenség következik: $n$ $a_{n}\geqslant 1$ $p_{n}=a_{n}-1$ $a_{n}=p_{n}+1$ $p_{n}\geqslant 0$

1+\sum _{n=1}^{N}p_{n}\leqslant \prod _{n=1}^{N}\left(1+p_{n}\right)\leqslant \ exp \left(\sum _{n=1}^{N}p_{n}\right)

amely azt mutatja, hogy egy végtelen szorzat akkor és csak akkor konvergál, ha egy végtelen összeg konvergál . ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }a_{n))$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n))$

Példák

Figyelemre méltó példák a végtelen szorzatokra, egy szám $\pi$ képletére, amelyeket François Viet és John Wallis fedezett fel :

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{ 2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots

;

{\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\ cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot { \frac {8}{9}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\jobb )

Euler-azonosság a zéta-függvényhez

\zeta (x)={\frac {1}{1-2^{-x}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-x}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-x}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-x}}}\cdots =\prod _{p}{\frac {1}{1 -p^{-x}}}

ahol a szorzat átveszi az összes prímszámot . Ez a termék a következőhöz konvergál . $\displaystyle p$ $x>1$

Egy függvény ábrázolása végtelen szorzatként

A komplex elemzés során ismert, hogy a szinusz és a koszinusz felbontható polinomok végtelen szorzatára

\sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\jobb )

\cos \pi z=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {4z^{2}}{(2n+1)^{2}}}\ jobb)

Ezek a kiterjesztések annak az általános tételnek a következményei , hogy bármely teljes függvény legfeljebb megszámlálható számú nullával , ahol a 0 pont a sorrend nullája , az alak végtelen szorzataként ábrázolható . $f$ $\{0\}\cup \{a_{n}\}\to \infty$ $\lambda$

$f(z)=z^{\lambda }e^{{h(z)}}\prod _{1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a_{n}}} \right)\exp \left({\frac {z}{a_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\jobb )^{2}+\pontok +{\frac {1}{p_{n}}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{{p_{n}}} \jobb)$ ,

ahol valamilyen teljes függvény, és a nem negatív egész számokat úgy választjuk meg, hogy a sorozatok konvergáljanak. A -nál a szorzónak megfelelő exponenciális számot kihagyjuk (egyenlőnek tekintjük ). $h$ $p_n$ $\sum _{1}^{\infty }\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{{p_{n}+1}}$ $p_{n}=0$ $n$ $\exp(0)=1$

Jegyzetek

↑ Fikhtengolts G. M. A differenciál- és integrálszámítás menete. - M. : Nauka, 1970. - T. 2. - S. 350-364.

Linkek

Végtelen termékek a Wolfram Math World-től