Affin hosszúság
Az affin hosszúság egy síkgörbe paramétere , amely az equiaffin transzformációk (vagyis a területmegtartó affin transzformációk ) során megmarad.
Definíció
Lapos görbe esetén az affin hosszúságot a képlet számítja ki
![{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{2))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2c00124194b1c0af00f122fc292b24614cb002)
ahol a keresztszorzatot jelöli , és az és az első és a második derivált.
Különleges esetek
- Egy függvénygráf affin hosszát a
- Természetes paraméterű és görbületű görbéhez
![{\displaystyle l=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt[{3}]{|f''(x)|}}dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ad8f2c7ada540f74278afe3f9bf3307e380209)
![{\displaystyle l=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt[{3}]{|\varkappa (s)|}}ds.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca817d2e56a118bb4c0c87f8d9d1cbb77cc5645)
Tulajdonságok
- A parabola affin ívhossza, ahol S annak a háromszögnek a területe, amelyet az ív húrja és a parabola érintői alkotnak az ív végén.
- A fix affin hosszúságú konvex zárt görbék közül az ellipszisek (és csak ezek) határolják a legkisebb területet.
![{\displaystyle 2{\sqrt[{3}]{S)),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1053aca4b4d7b8c1562c836a2510e2467fffcd76)
Változatok és általánosítások
Az affin hosszúság általánosításai is vannak a térgörbék esetére és az általános affin csoportra, valamint annak többi alcsoportjára.
Irodalom
- L. Feyesh Tot, Elrendezések síkon, gömbön és térben , M., Fizmatlit, 1958. - 364 p.