Alikvot szekvencia

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. október 3-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A matematikában az aliquot sorozat egy rekurzív sorozat , amelyben minden tag az előző tag megfelelő osztóinak összege . Egy k pozitív egész számmal kezdődő aliquot sorozat formálisan definiálható a σ 1 osztók összegfüggvényével a következőképpen [1] :

s 0 = k s n = σ 1 ( s n −1 ) − s n −1 .

Például a 10-es szám aliquot sorozata 10, 8, 7, 1, 0, mert:

σ 1 (10) − 10 = 5 + 2 + 1 = 8 σ 1 (8) − 8 = 4 + 2 + 1 = 7 σ 1 (7) − 7 = 1 σ 1 (1) − 1 = 0

Sok alikvot szekvencia nullára végződik ( az A080907 szekvencia az OEIS -ben), és minden ilyen sorozat egy prímszámmal végződik, amelyet egy követ (mert a prímszám egyetlen helyes osztója egy) és egy nulla (mivel az egyiknek nincs belső osztója) ). Számos olyan eset is létezik, amikor az aliquot sorozat végtelen:

Az n betűvel kezdődő aliquot sorozatok hossza :

1, 2, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 4, 2, 7, 2, 5, 5, 6, 2, 4, 2, 7, 3, 6, 2, 5, 1, 7, 3, 1, 2, 15, 2, 3, 6, 8, 3, 4, 2, 7, 3, 4, 2, 14, 2, 5, 7, 8, 2, 6, 4, 3, ... ( A044050 sorozat az OEIS -ben ).

Az aliquot szekvenciák utolsó eleme (az 1-et nem beleértve) n -lel kezdődően :

1, 2, 3, 3, 5, 6, 7, 7, 3, 7, 11, 3, 13, 7, 3, 3, 17, 11, 19, 7, 11, 7, 23, 17, 6, 3, 13, 28, 29, 3, 31, 31, 3, 7, 13, 17, 37, 7, 17, 43, 41, 3, 43, 43, 3, 3, 47, 41, 7, 43, ... ( A115350 sorozat az OEIS -ben ).

Számok, amelyek aliquot sorozata 1-re végződik:

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, ... (sorozat A08907 az OEIS -ben ).

Számok, amelyek aliquot sorozata tökéletes számra végződik :

25, 95, 119, 143, 417, 445, 565, 608, 650, 652, 675, 685, 783, 790, 909, 913, ... ( A063769 sorozat az OEIS -ben ).

Számok, amelyek aliquot sorozata 2 hosszúságú ciklussal végződik:

220 284 562 1064 1184 1188 1210 1308 1336 1380 1420 1490 1604 1690 1692 1772 1816 1898 1772 1816 1898 2008 21527 A 2EI 21522 ).

Számok, amelyeknél nem ismert, hogy aliquot sorozatuk véges vagy periodikus:

276 306 396 552 564 660 696 780 828 888 966 996 1074 1086 1098 1104 1134 1218 1302 1314 1320 1338 135.0 1398, 1410, 1464, 1476, 1488, ... ( A131884 szekvencia az OEI -ben ).

Egy fontos sejtés az aliquot sorozatokkal kapcsolatban a katalán miatt az a feltevés, hogy bármely alikvot sorozat a felsorolt ​​módok valamelyikével végződik - prímszámra, tökéletes számra, baráti számok halmazára vagy társszámok halmazára [2] . Ellenkező esetben létezniük kell olyan számoknak, amelyek aliquot sorozata végtelen és periodikus . A fent említett számok bármelyike, amelynél az aliquot sorrend nincs teljesen meghatározva, lehet ilyen szám. Az első öt jelöltet Lehmer ötének nevezik ( Dick Lehmer amerikai matematikus után ): 276 , 552, 564, 660 és 966 [3] .

2013 decemberéig 898 olyan 100 000 -nél kisebb pozitív egész szám ismert , amelyekhez aliquot sorozatot nem állapítottak meg, és 9205 ilyen szám 1 000 000 -nél kisebb [4] .

Tulajdonságok

Egy alikvot szekvencia hosszú ideig megőrzi paritását [5] [6] . A paritás változása a faj tagjain és

Jegyzetek

  1. ↑ Weisstein, Eric W. Aliquot Sequence  a Wolfram MathWorld webhelyen .
  2. ↑ Weisstein, Eric W. Catalan alikvot szekvencia sejtése  a Wolfram MathWorld webhelyen .
  3. ↑ Lehmer Five (W. Creyaufmüller)
  4. ↑ Alikvot oldalak (W. Creyaufmüller)
  5. ↑ Richard K. Guy és JL Selfridge. Mi hajtja az alikvot szekvenciát?  (eng.)  // Számítási matematika : folyóirat. - 1975. - 1. évf. 29 , sz. 129 . - 101-107 . o .
  6. ↑ Wieb Bosma. Alikvot szekvenciák kis kezdőértékekkel .

Irodalom

Linkek