Autokorrelációs funkció

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. május 26-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

Autokorrelációs függvény - a függvény (jel) és eltolt másolata közötti kapcsolat függése az időeltolás nagyságától.

Determinisztikus jelek esetén a jel autokorrelációs függvényét ( ACF ) a következő integrál határozza meg : $f(t)$

\Psi (\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)f^{*}(t-\tau )\mathrm {d} t

és mutatja a jel (függvény ) kapcsolatát önmaga másolatával, értékkel eltolva . A csillag összetett ragozást jelent . $\;f(t)$ $\tau$

Véletlenszerű folyamatok esetén a véletlen függvény ACF- je a következő formában van : [1] : $X(t)$

{\displaystyle K(\tau )=\mathbb {E} \{X(t)X^{*}(t-\tau )\))

ahol a matematikai elvárás , a csillag összetett ragozást jelent . ${\displaystyle \mathbb {E} \{\ \))$

Ha az eredeti függvény szigorúan periodikus , akkor az autokorrelációs függvény grafikonjának is lesz szigorúan periodikus függvénye. Ebből a grafikonból tehát meg lehet ítélni az eredeti függvény periodicitását, következésképpen annak gyakorisági jellemzőit. Az autokorrelációs függvény összetett ingadozások , például emberi elektroencefalogram elemzésére szolgál .

Alkalmazás a mérnöki területen

A szélessávú rendszerekben használt kódsorozatok korrelációs tulajdonságai a kódsorozat típusától, hosszától, szimbólumainak gyakoriságától és szimbólumonkénti struktúrájától függenek.

Az ACF tanulmányozása fontos szerepet játszik a kódszekvenciák kiválasztásában, a hamis szinkronizálás létrejöttének legkisebb valószínűsége szempontjából.

Egyéb felhasználások

Az autokorrelációs függvény fontos szerepet játszik a matematikai modellezésben és az idősorelemzésben , megmutatja a vizsgált folyamatokra jellemző időket (lásd például: Turchin P.V. Historical dynamics. M .: URSS , 2007. ISBN 978-5-382-00104 -3 ). Konkrétan a dinamikus rendszerek viselkedésében a ciklusok felelnek meg valamely jellemző paraméter autokorrelációs függvényének maximumának.

Sebességszámítás

Gyakran szükséges az autokorrelációs függvény kiszámítása egy idősorhoz . A közvetlen számítás a következőnél működik . Van azonban rá mód . $x_{i}$ $O(T^2)$ $O(T\log T)$

A módszer a Khinchin-Kolmogorov (más néven Wiener-Khinchin) tételen alapul, amely kimondja, hogy egy jel autokorrelációs függvénye a teljesítményspektrális sűrűségének Fourier-transzformációja . Mivel a diszkrét jelekre létezik egy gyors Fourier-transzformációs algoritmus a spektrumaik kiszámítására , amelynek összetettségi sorrendje van , így az autokorrelációs függvény kiszámítása felgyorsítható a jel spektrumának, majd a teljesítményének (a modulus négyzetének) kiszámításával. ), majd az inverz Fourier transzformációt. $O(T\log T)$

A módszer lényege a következő. Elvégezhet néhány inverz egy az egyhez adattranszformációt, amelyet Fourier-transzformációnak neveznek , amely egy az egyhez megfeleltetésbe helyezi őket egy másik térben található adatkészlettel, amelyet frekvenciatérnek (a jel frekvenciaspektruma) -- a spektrális amplitúdók halmaza). Ahelyett, hogy az autokorrelációs függvényt közvetlenül a kiindulási adatainkon számolnánk ki, a Fourier-spektrum frekvenciaterében a megfelelő adatokon elvégezhetjük az ennek megfelelő műveletet, ami O (T) lineáris időben történik - az autokorrelációs függvény számítása. a frekvenciatérben megfelel a frekvenciateljesítmények számításának a spektrális amplitúdók modulusainak négyzetre emelésével. Ezt követően a kapott spektrális teljesítmények felhasználásával visszaállítjuk az ezeknek megfelelő autokorrelációs függvény értékeit a közönséges térben. A spektrum számítása függvényből és fordítva a gyors Fourier-transzformációval történik , a teljesítményspektrális sűrűség számítása a frekvenciatérben O(T). Így a számítások során időnyereséget kaptunk. $O(T\log T)$

Kiképzés. Vonjuk ki a számtani átlagot a sorozatból . Váltsunk át komplex számokká . Kitöltés nullákkal . Ezután adjon hozzá több nullát a végéhez. $2^k$ $2^k$

Számítás. Az autokorrelációs függvényt a gyors Fourier-transzformáció segítségével számítjuk ki, és egyenesen arányos a sorozat első elemeivel $n$

\Psi(\tau) \sim \operatorname{Re} \operatorname{fft}^{-1}\left(\left|\operatorname{fft}(\vec x)\right|^2\right)

A komplex modul négyzetét elemről elemre vesszük: . Ha nincs számítási hiba, akkor a képzeletbeli rész nulla lesz. Az arányossági tényezőt a követelmény határozza meg . $\left|\vec a\right|^2 = \left\{ \operátornév{Re}^2 a_i + \operátornév{Im}^2 a_i \right\}$ $\Psi(0)=1$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Charles Therrien , Murali Tummala. Valószínűségi és véletlenszerű folyamatok villamos- és számítástechnikai mérnökök számára. - CRC Press, 2012. - 287. o . Letöltve: 2016. szeptember 8. Az eredetiből archiválva : 2016. szeptember 17.. (határozatlan)

Linkek

xcorr függvény a MATLAB -ban