Barnes G-függvény

A Barnes G-függvény (általában jelölése ) egy olyan függvény, amely kiterjeszti a szuperfaktoriális fogalmát a komplex számok mezőjére . Ez kapcsolódik a Gamma függvényhez , a K függvényhez és a Glaisher-Kinkelin állandóhoz . -függvény Ernest William Barnes angol matematikusról kapta a nevét [1] . $G(z)$ $G$

Formálisan a Barnes-függvény definíciója ( a Weierstrass-termék formájában ) így van $G$

G(z+1)=(2\pi )^{z/2}e^{-\left[z(z+1)+\gamma z^{2}\right]/2}\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}e^{-z+z^{2}/(2n )}\jobb]

hol van az Euler-Mascheroni állandó . $\gamma$

Differenciálegyenletek, funkcionális egyenletek és parciális értékek

$G$ -A Barnes-függvény kielégíti a differenciálegyenletet

G(z+1)=\Gamma (z)G(z)

Ily módon

G(n)=\operátornév {sf} (n-2)

, hol van a szuperfaktoriális .

\operatorname {sf} (x)

x

Például,

G(8)=\operátornév {sf} (6)=6!\cdot 5!\cdot 4!\cdot 3!\cdot 2!\cdot 1!=24883200

ha ezt elfogadjuk . Egy differenciálegyenletben feltételezzük, hogy a következő értékeket veszi fel az argumentum egész értékére: $G(1)=1$ $G$

G(n)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0,-1,-2,\dots \\\prod _{i=0}^{n-2} i!&{\mbox{if }}n=1,2,\dots \end{cases}}

és így

G(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{K(n)}}

ahol Γ a Gamma függvény és K a K függvény . Egy differenciálegyenlet egyértelműen meghatároz egy -függvényt, ha a konvexitási feltételt hozzáadjuk: [2] . $G$ ${\frac {d^{3}}{dx^{3}}}G(x)\geq 0$

A -függvény differenciálegyenlete és a gamma függvény funkcionális egyenlete a következő funkcionális egyenletekhez vezet a -függvényhez, Herman Kinkelin által bebizonyítva : $G$ $G$

G(1-z)=G(1+z){\frac {1}{(2\pi )^{z}}}\exp \int _{0}^{z}\pi x\ kiságy\pix\,dx.

Szorzási képlet

A Gamma függvényhez hasonlóan a -függvénynek is van egy szorzóképlete [3] : $G$

G(nz)=K(n)n^{n^{2}z^{2}/2-nz}(2\pi )^{-{\frac {n^{2}-n} {2}}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G\left(z+{\frac {i+j}{n} }\jobb),

ahol

K(n)=e^{-(n^{2}-1)\zeta ^{\prime }(-1)}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot ( 2\pi )^{(n-1)/2}\,=\,(Ae^{-{\frac {1}{12))})^{n^{2}-1}\cdot n^ {\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}.

Itt van a Riemann zéta függvény , a Glaisher-Kinkelin állandó . ${\displaystyle \zeta ^{\prime ))$ $A$

Jegyzetek

↑ EW Barnes, "A G-függvény elmélete", Quarterly Journ. Pure és Appl. Math. 31 (1900), 264-314.
↑ MF Vignéras, L'équation fonctionelle de la fonction zêta de Selberg du groupe mudulaire SL $(2,\mathbb {Z} )$ , Astérisque 61 , 235-249 (1979).
↑ I. Vardi, Determinants of Lalacians and multiple gamma functions , SIAM J. Math. Anális. 19 , 493-507 (1988).